曲线和曲面上的积分

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1、曲线和曲面上的积分曲线积分1.曲线要素1内容提要曲线积分：曲线长、第一和第二型曲线积分曲面积分：曲面面积、第一和第二型曲面积分Green公式、Gauss公式、Stokes公式梯度、散度、旋度2曲线与直线、曲面与平面任务:如何把在直线和平面上的长度和面积“推广”到曲线和曲面上去.更一般地说如何把定义在n维欧氏空间上的测度推广到n维曲面上去.方法:用折线逼近曲线的长度、切面块网逼近曲面面积.一般方法:超切面块网逼近超曲面面积新问题和新领域:可求长曲线(曲面、超曲面)与不可求长曲线(曲面、超曲面)3如何讨论欧氏空间中的超曲面简单的情形:曲线(一维超曲面)和余一维超曲面、二

2、维欧氏空间中的曲线、三维欧氏空间中的曲线曲面复杂的情形:其他的情形,其讨论需要引入新的数学工具4曲线积分曲线表示和曲线长度曲线上的测度和第一型曲线积分(质量)第二型曲线积分(功)5曲线的映射观点定义设:[a,b]Rn(n2)若连续,称L=([a,b])为Rn中的一条连续曲线若具有一阶连续导数,且t[a,b],(t)0,称L=([a,b])为Rn中的一条光滑曲线;若还是单射,L=([a,b])为Rn中的一条正则曲线若连续,且存在a=a0

3、,b])为Rn中的一条分段光滑(正则)曲线6曲线的集合观点定义设LRn,若存在:[a,b]Rn,有L=([a,b])若连续,就称L为Rn中的一条连续曲线,称为L的一个表示若光滑且导数点点不为零,就称L为Rn中的一条光滑曲线,称为L的光滑表示若光滑,单射且导数点点不为零,就称L为Rn中的一条正则曲线,称为L的正则表示7同一条曲线的不同表示问题同一条曲线可以有不同表示：集合观点下的正则曲线一定有非正则的表示;几何上正则的曲线一定有正则表示;几何上非正则的曲线一定没有正则表示在下面的讨论中,我们总假设连续,L是正则曲线或分段正则曲线,是其相应的表示

4、因此将对曲线的两种观点统一8曲线的分类设:[a,b]Rn(n2),连续若是单射,称L=([a,b])为Rn中的简单曲线若(a)=(b),称L=([a,b])为Rn中的闭曲线;若(a)=(b),在[a,b)上是单射,称L=([a,b])为中的简单闭曲线;9曲线的方向设LRn,:[a,b]Rn(n2),连续,L=([a,b]),规定t由a变化到b所对应的方向(t)的运动方向为L由所确定的正方向,简称为L的正向;而把t由b变化到a所对应的方向(t)的运动方向规定为L由所确定的负方向,简称为L的负向10曲线长度定义设:[a,b]

5、Rn(n2),连续,L=([a,b])设:a=t0

6、L

7、<,就说L是可求长的;如果

8、L

9、=,就说L是不可求长的.12向量值函数的积分不等式设=(1,…,n):ERnRn(n2),

10、.

11、为Rn上的一个范数.若i=1,…n,iL(E),并定义则

12、

13、L(E),且注:下面的应用中,

14、.

15、为欧氏范数#13向量值函数的积分不等式证明注意

16、.

17、是Rn上的连续函数,因此

18、

19、在E上可测.再由

20、

21、

22、C(

23、1

24、+…+

25、n

26、)(右边的

27、.

28、为通常的绝对值,C为正常数)可知

29、

30、L(E).下面证明不等式:j=1,..,n,取简单函数列记,则且14积分不等式证明(续1)(*)的证明,不妨设注意在这里可以把E的分解取的仅与k有关,且15积分不等式证明(续2)因此由范数

31、.

32、的连续性可知由范数

33、.

34、的连续性和Lebesgue控制收敛定理可知不等式获证#16正则曲线弧长计算公式设L为正则曲线,:[a,b]Rn为L的正则表示,则L是可求长的，且长度(弧长)为证明:任取[a,b]的一个分法:a=t0

35、不等式得到所以由此得到L是可求长的.下面证明18正则曲线弧长计算公式证明(续1)任取>0,要找分法:a=t00,使得取定分法:a=t0