复合函数的单调性.ppt

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1、复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量一、复习引入：1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值⑴若当x1f(x2),则说在这个区间上是减函数.2.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,给定区间内的任意两个值；⑵作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）,判断正负（要注意说理的充分性

2、）；(3)确定其增减性.复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a

3、u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)

4、]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ag(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)

5、数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使af(u2),即y=f[g(x1)]>y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)

6、上是减函数。复合函数的单调性引理4：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ag(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1

7、)>f(u2),即y=f[g(x1)]>y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=f[g(x)]增函数增函数减函数减函数规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。“同增异减”复合函数的单调性例1：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)解　设y=log4u,u=x2－4x+3.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原复

8、合函数的定义域为x＜1或x＞3.当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.解：设u=x2－4x+3，u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＜2(u减)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于