傅立叶变换的性质.ppt

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1、§8.3傅立叶变换的性质三、利用Matlab实现Fourier变换一、基本性质二、卷积与卷积定理*一、基本性质且所涉及到的函数的Fourier在下面给出的基本性质中，变换均存在，1.线性性质设a,b为常数，则性质对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。直接进入基本性质汇总？证明(略)一、基本性质2.位移性质设为实常数，则性质(时移性质)(频移性质)(2)同理，可得到频移性质。(1)(2)证明(1)令时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份频移性质则被用来进行频谱

2、搬移，这一技术在通信系统中的大小不发生改变，但相位发生变化；得到了广泛应用。一、基本性质2.位移性质设为实常数，则性质(时移性质)(频移性质)(1)(2)令证明(1)当时，(2)当时，同理可得性质一、基本性质3.相似性质相似性质表明，事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知，脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽;脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。若信号被压缩则其频谱被扩展；若信号被扩展则其频谱被压缩。性质一、基本性质3.相似性质相似性质表明这两者是矛盾的，

3、因为同时压缩脉冲宽度和在电信通讯中，为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；频带宽度是不可能的。性质一、基本性质3.相似性质一、基本性质4.微分性质若则性质证明由有一般地，若则记忆由一、基本性质4.微分性质若则性质记忆由上式可用来求的Fourier变换．一、基本性质4.微分性质同理，可得到像函数的导数公式证明令则由微分性质有又有即得性质一、基本性质5.积分性质一、基本性质6.帕塞瓦尔(Parseval)等式证明由有右边=左边.一、基本性质(汇总)线性性质相似性质位

4、移性质(时移性质)(频移性质)一、基本性质(汇总)Parseval等式积分性质微分性质(直接进入Parseval等式举例?)例设求解已知根据线性性质和频移性质有又解根据相似性质有P198例8.11修改设求例根据微分性质有解令则又已知解设矩形脉冲函数由于被积函数为偶函数，已知的频谱为由Parserval等式有故有P200例8.12即二、卷积与卷积定理广义积分对任何实数t都收敛，函数为与的卷积，记为1.卷积的概念与运算性质设函数与在区间上有定义，定义如果它在上定义了一个自变量为t的函数，则称此P200定义8.2二、

5、卷积与卷积定理1.卷积的概念与运算性质性质(1)交换律(2)结合律(3)分配律P201解(1)当时，t(2)当时，P201例8.13将函数反褶并平移到t，得到从上面的例子可以看出(2)卷积由反褶、平移、相乘、积分四个部分组成。因此，卷积又称为褶积或卷乘。(1)在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个函数的关键。再与函数相乘后求积分，得到卷积的卷积次序，还可以使积分限的确定更直观一些。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。即首先P203(1)当时，解由卷积的

6、定义及性质有221t221P202例8.14修改221t(2)当时，解由卷积的定义及性质有221221t(3)当时，解由卷积的定义及性质有221综合得解由卷积的定义及性质有221证明同理可证(B)式。二、卷积与卷积定理2.卷积定理P203定理8.4二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义*设有某信号为问题试将该信号的低频成份完全保留，而高频成份完全去掉，即对其进行理想低通滤波。(1)如何从收到的实际信号中分离出“想要”的某个频带背景内的信号。(2)如何从收到的实际信号中消除在传输过程中加入的高频干扰噪声。(跳过?)

7、二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义方法*(1)求出信号频谱函数显然，新的信号中完全保留了原信号中频率低于a的频率成份，而去掉了频率高于a的频率成份。方法一在频率域中实现(2)令(理想低通滤波器)(3)将与相乘，得到(4)对作Fourier逆变换，得到二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义方法*由卷积定理，信号与方法一中信号是一样的，方法二在时间域中实现(1)令(理想低通滤波器)(2)求(理想低通滤波因子)(3)计算卷积与分别又称为频率响应函数与冲激响应函数。注这正是卷积的意义和价值。解方法一根据卷积定理有方法二

8、已知的Fourier变换为令注(1)一般地，有(2)本例的结论被用来获取或者检测系统的冲激响应函数。其频谱分别为解函数和均为抽样信号，令则根据卷积定理有P203例8.15令则解方法一利用卷积定理求解P204例8.16(跳过?)解令则方法二利用频移性质求解又根据频移性质有在数学软件Matlab的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行Fourier变换与Fourier逆变换。(1)F=fo