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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念1.了解数系扩充的必要性及其过程.2.理解复数的概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示方法及几何意义.4.掌握复数的分类及复数相等的充要条件的应用.1.本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件的应用.2.本节课的难点是复数概念的理解.1.复数的概念：z=a+bi(a,b∈R)_________所成的集合C叫做_______.复数的代数形式z=a+bi实部虚部虚数单位，i2=-1全体复数复数集2.两个复数相等的充要条件在复数集C={a+bi｜a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di
2、(a,b,c,d∈R),则a+bi=c+di⇔___________.3.复数的分类z=a+bi(a,b∈R)a=c且b=d实数_____.(b=0)____(b≠0)虚数非纯虚数(a≠0),纯虚数_____.(a=0)1.复数a+bi的实部、虚部一定是a,b吗？提示：不一定，只有a,b∈R时，a,b才是复数的实部、虚部.2.在复数z=a+bi中，若a=0，则复数z是纯虚数,对吗？提示：不对，只有b∈R且b≠0时，复数z才是纯虚数,否则不是.3.在下列数中，属于虚数的是________，属于纯虚数的是_______.0,1+i,
3、πi,+2i,-i,i.【解析】根据虚数的概念知：1+i,πi,+2i,-i,i都是虚数；由纯虚数的概念知:πi,i都是纯虚数.答案:1+i,πi,+2i,-i,iπi,i4.已知复数z1=(x-1)+2i(x∈R)，z2=3-(y+1)i(y∈R)，若z1=z2，则x=___________,y=______________.【解析】因为z1=z2，所以即答案:4-31.对复数代数形式的认识复数代数形式必须满足：(1)z=a+bi，(2)a,b∈R，只有同时具备这两点才称为复数的代数形式，此时a,b分别为复数的实部和虚部.2.
4、复数与虚数的关系复数与虚数是两个不同的概念，虚数一定为复数，但复数不一定为虚数.3.对两个复数相等的理解(1)利用两个复数相等的充要条件可以求复数.(2)两个复数相等的充要条件还体现了一种数学思想—转化思想，即将复数问题转化为实数问题来处理.复数相关概念的理解【技法点拨】1.虚数单位的性质i2=-1，1·i=i，0·i=0;2.复数的实部与虚部的确定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部.【典例训练】1.复数1＋i2的实部和虚部分别是()(A)1和i(B)i和1(C)1和－1(D)0和0
5、2.下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个【解析】1.选D.∵1＋i2＝1－1＝0，故选D.2.选A.在①中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2=0,z3＝i，则(z1-z2)2+(z2-z3)2=12+(-i)2=1-1=0,但z1≠z2≠z
6、3，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.【想一想】由题2②你会得到怎样的启示?提示：在实数集中，a2+b2=0⇔a=0且b=0.这一结论在复数范围内就不成立了，这一点提醒我们：在复数范围内解决问题时，所有的实数性质，只有经过推理论证后，才能推广应用.【变式训练】1.复数i-2的虚部是()(A)i(B)-2(C)1(D)2【解析】选C．令z=i-2,则z=-2+i，所以虚部为1.2.给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0;(2)2i-1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为()(A)0(
7、B)1(C)2(D)3【解析】选B.(1)错误，例如z=i,则z2=-1；(2)错误，因为2i-1虚部是2；(3)正确，因为2i=0+2i.复数的分类【技法点拨】复数的分类问题的处理思路这类问题主要体现在对所给的数是实数、虚数、还是纯虚数的判断.其判断方法如下：设所给复数为z=a+bi(a,b∈R)，(1)z为实数⇔b=0；(2)z为虚数⇔b≠0；(3)z为纯虚数⇔a=0且b≠0.【典例训练】1.(2012·宁德高二检测)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()(A)－1(B)1(C)±1(D)－1或－2
8、2.已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________．3.实数m取什么值时，复数(m2－3m＋2)＋(m2－4)i是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【解析】1.选B.∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴由x2－1＝0，得x
