（浙江专用）2020版高考数学专题四大题考法课二圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课时跟踪检测.docx

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1、圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1．(2019·温州九校联考)已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，过椭圆C上点P(2,1)作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标．解：(1)依题意有解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，故设直线AB的方程为y＝kx＋m，由得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，由P·P＝0，得(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，即(x1－2)

2、(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0，则3m2＋8mk＋4k2－2m－1＝0，即(3m＋2k＋1)(m＋2k－1)＝0，由直线AB不过点P，知m＋2k－1≠0，故3m＋2k＋1＝0.所以直线AB过定点.2．已知抛物线C1：x2＝4y的焦点为F，过抛物线C2：y＝－x2＋3上一点M作抛物线C2的切线l，与抛物线C1交于A，B两点．(1)记直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，若k1·k2＝－，求直线l的方程；(2)是否存在正实数m，使得对任意点M，都有

3、AB

4、＝m(

5、AF

6、

7、＋

8、BF

9、)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设M(x0，y0)，由y＝－＋3，得y′＝－，则切线l的斜率为k＝－.切线l的方程为y＝－(x－x0)＋y0＝－x＋＋y0＝－x－2y0＋6＋y0，即y＝－x－y0＋6.与x2＝4y联立，消去y得x2＋x0x＋4y0－24＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－x0，x1x2＝4y0－24，则y1＋y2＝－(x1＋x2)－2y0＋12＝－2y0＋12＝－4y0＋18，y1y2＝＝(y0－6)2，则由k1·k2＝×＝＝＝－，得5y－28y0＋23＝0，解得y0＝1或y0＝.∵

10、x＝－8(y0－3)≥0，∴y0≤3，故y0＝1，∴x0＝±4.则直线l的方程为y＝±x＋5.(2)由(1)知直线l的方程为y＝－x－y0＋6，且x1＋x2＝－x0，x1x2＝4y0－24，则

11、AB

12、＝

13、x1－x2

14、＝·＝·，即

15、AB

16、＝·＝2(5－y0)，而

17、AF

18、＋

19、BF

20、＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝－4y0＋20＝4(5－y0)，则

21、AB

22、＝(

23、AF

24、＋

25、BF

26、)，故存在正实数m＝，使得对任意点M，都有

27、AB

28、＝(

29、AF

30、＋

31、BF

32、)成立．3．(2019·嵊州高三期末)已知抛物线y2＝2x，P(1,0)，M(0，a)，其中a＞0，过点M作抛物线的切线，切点

33、为A(不同于原点O)，过点A，P作直线交抛物线于点B，过点M，P作直线交抛物线于点C，D.(1)求证：直线MA，MP的斜率之积为定值；(2)若△BCD的面积为，求实数a的值．解：(1)证明：设A(2m2,2m)(m≠0)，则kAM＝，所以直线AM：y＝x＋a，即x＝·(y－a)，与抛物线方程联立得y2－y＋＝0，因为直线AM与抛物线相切，所以Δ＝－＝0，解得m＝a，所以A(2a2,2a)，所以kMA·kMP＝·＝－，为定值．(2)易得kCD＝kMP＝－a，所以直线CD：y＝－ax＋a，即x＝－y＋1，与抛物线方程联立得y2＋y－2＝0，设C(x1，y1)，D(x2

34、，y2)，

35、y1－y2

36、＝＝，

37、CD

38、＝·

39、y1－y2

40、＝，又kAB＝，所以直线AB：y＝(x－1)，即x＝y＋1，与抛物线方程联立得y2－y－2＝0，所以yAyB＝－2，所以yB＝－，所以B，所以点B到直线CD的距离d＝，所以S△BCD＝＝，整理得＝，所以＝，解得a＝2或a＝－2(舍去)．4.如图，A为椭圆＋y2＝1的下顶点，过点A的直线l交抛物线x2＝2py(p＞0)于B，C两点，C是AB的中点．(1)求证：点C的纵坐标是定值；(2)过点C作与直线l倾斜角互补的直线l′交椭圆于M，N两点，p为何值时，△BMN的面积最大？解：(1)证明：易知A(0，－1)，不妨

41、设B，则C，代入抛物线方程得2＝2p·，得t2＝4p，∴yC＝＝，故点C的纵坐标为定值．(2)∵点C是AB的中点，∴S△BMN＝S△AMN.设直线l的斜率为k，直线l′的斜率为k′，则k＝＝，k′＝－，∴直线l′的方程为y－＝－，即y＝－x＋2，不妨记m＝－，则l′：y＝mx＋2，代入椭圆方程整理得(2m2＋1)x2＋8mx＋6＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，

42、MN

43、＝

44、x1－x2

45、＝2··，又A到直线MN的距离d＝，所以S△AMN＝·

46、MN

47、·d＝3＝≤.当且仅当＝时取等号，解得m2＝，所以t2＝＝，从而p＝＝，故当p＝

48、时△BMN