（浙江专用）2019高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十六）大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

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1、课时跟踪检测（十六）大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题22xy1．(2018·浙江高考名师预测卷二)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物22ab2线y＝82x的焦点相同，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF1F2面积的最大值为42.(1)求椭圆C的方程；22(2)设椭圆C上的任意一点N(x0，y0)，从原点O向圆N：(x－x0)＋(y－y0)＝3作两条22切线，分别交椭圆于A，B两点．试探究

2、OA

3、＋

4、OB

5、是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．2解：(1)抛物线y＝82x的焦点为(22，0)，由题意可得c＝2

6、2.当点M位于椭圆短轴的端点处时，△MF1F2的面积最大，1即有×b×2c＝42，解得b＝2，2222所以a＝b＋c＝4＋8＝12，22xy故椭圆C的方程为＋＝1.124(2)设直线OA：y＝k1x，OB：y＝k2x，A(x1，y1)，B(x2，y2)，22设过原点与圆(x－x0)＋(y－y0)＝3相切的切线方程为y＝kx，

7、kx0－y0

8、222则有＝3，整理得(x0－3)k－2x0y0k＋y0－3＝0，21＋k22x0y0y0－3所以k1＋k2＝2，k1k2＝2.x0－3x0－322x0y0又因为点N在椭圆上，所以＋＝1，1242y0－31所以可求得k1k2＝＝－.

9、212－3y0－3322将y＝k1x代入椭圆方程x＋3y＝12，2212212k1得x1＝，则y1＝.221＋3k11＋3k12212212k2同理可得x2＝，y2＝，221＋3k21＋3k22222121＋k1121＋k2所以

10、OA

11、＋

12、OB

13、＝＋221＋3k11＋3k22222121＋k11＋3k2＋121＋k21＋3k1＝221＋3k11＋3k22216[2＋3k1＋k2]＝＝16.222＋3k1＋k222所以

14、OA

15、＋

16、OB

17、的值为定值，且为16.22yx2.如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛22ab2物线C2：y＝－x＋1(y≤

18、0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中3C1的离心率为.2(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)在C2的方程中，令y＝0，可得x＝±1，∴A(－1,0)，B(1,0)．又A，B两点是上半椭圆C1的左、右顶点，∴b＝1.c3222设C1的半焦距为c，由＝及a－c＝b＝1可得a＝2，∴a＝2，b＝1.a22y2(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x＝1(y≥0)．4由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其

19、方程为y＝k(x－1)(k≠0)．2222代入C1的方程，整理得(k＋4)x－2kx＋k－4＝0.设点P的坐标为(xP，yP)，又直线l经过点B(1,0)，222kk－4∴xP＋1＝，xP＝.22k＋4k＋42k－4－8k－8k2，2从而yP＝，∴点P的坐标为k＋4k＋4.2k＋4y＝kx－1k≠0，同理，由2y＝－x＋1y≤02得点Q的坐标为(－k－1，－k－2k)．―→2k―→∴AP＝(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．2k＋4依题意可知AP⊥AQ，2―→―→－2k∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，2k＋48∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k

20、＝－.38经检验，k＝－符合题意，38故直线l的方程为y＝－(x－1)．322xy13.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x＝22ab25―→―→―→a上的任意一点，且(PF＋PE)·EF＝2.4(1)求椭圆C的方程；(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．55aa，t―→c－a，－t―→－，－t―→解：(1)设P4，F(c,0)，E(a,0)，则PF＝4，PE＝4，EF＝(c－

21、a,0)，33―→―→―→c－a，－2tc－a所以(PF＋PE)·EF＝2·(c－a，0)＝2，即2·(c－a)＝2，又c1e＝＝，a2所以a＝2，c＝1，b＝3，22xy从而椭圆C的方程为＋＝1.4331，(2)由(1)知A2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，22xy设MN的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程＋＝1，43222得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0，28km4m－12所以x1＋x2＝－，x1x2＝.224k＋34k＋3又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持∠MAB＝∠NAB，33y1－y2－则kAM＋kAN＝0，