（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习专题三大题考法课数列的综合应用及数学归纳法课时跟踪检测.docx

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1、数列的综合应用及数学归纳法1．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵Sn＝2an－a1，①∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，②①－②得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.由a1，a2＋1，a3成等差数列，得2(a2＋1)＝a1＋a3，∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an＝2n.(2)∵an＝2n，∴Sn＝2an－a1＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.∴bn＝＝＝－.∴数

2、列{bn}的前n项和Tn＝＋＋…＋＝＝.2．(2019·绍兴适应性考试)已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a5＋1，a23＋1成等比数列．数列{bn}满足：b1＋b2＋…＋bn＝2n＋1－2，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}的前n项和为Tn，且cn＝若对n∈N*，T2n≥T2k恒成立，求正整数k的值．解：(1)由已知得(a5＋1)2＝a1(a23＋1)，即(a1＋9)2＝a1(a1＋45)，所以a1＝3，所以an＝2n＋1.当n＝1时，b1＝2，当n≥2时，bn＝(b1＋b2…＋bn)－(b1＋b2…＋bn－1)＝2n＋1－2n＝2n，所以

3、bn＝2n.(2)因为T2n＝－＝－＝－＋－，所以T2n＋2－T2n＝＝＝.设dn＝，则dn＋1－dn＝－＝<0恒成立，因此d1>d2>d3>d4>…，由于d1>1，d2>1，d3>1，d4<1，…，因此T4－T2<0，T6－T4<0，T8－T6<0，T10－T8>0，…，所以{T2n}中T8最小，所以k的值为4.3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝＋，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1，由an＝－3Sn＋4，知

4、an＋1＝－3Sn＋1＋4，两式相减并化简得an＋1＝an，∴an＝n－1，bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n.(2)由题意知，cn＝＋.令Hn＝＋＋＋…＋，①则Hn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Hn＝＋＋＋…＋－＝1－.∴Hn＝2－.又Tn－Hn＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，∴Tn＝Hn＋(Tn－Hn)＝2－＋.4．(2019·诸暨期末)数列{an}的各项为正数，a1＝2，前n项和Sn，满足Sn＋1＝Sn；等比数列{bn}的公比等于2，其首项满足是与n无关的常数．(1)求an；(2)求

5、a1－b1

6、＋

7、a2－b2

8、＋

9、a3－b3

10、＋…＋

11、an－bn

12、.解：(1)法一：∵＝，∴

13、··…·＝×××…×.∴＝，Sn＝n(n＋1)，∴an＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2)．又a1＝2也符合上式，∴an＝2n.法二：由S1＝2，S2＝6＝2×3，S3＝12＝3×4，猜想Sn＝n(n＋1)．用数学归纳法证明：易知当n＝1时猜想成立；假设当n＝k时，猜想成立，即Sk＝k(k＋1)，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＝(k＋1)(k＋2)，即当n＝k＋1时，猜想也成立，所以Sn＝n(n＋1)．则an＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2)．又a1＝2也符合上式，∴an＝2n.(2)由题意令n＝1,2，得＝，解得log3b1＝－1，b1＝，此时＝为常数，∴bn＝·2n－1.记f(n)＝an－b

14、n＝2n－，则f(n＋1)－f(n)＝2－，∴当n≥4时，f(n)单调递减．又f(1)，f(2)，…，f(6)>0，f(7)<0.∴当n≤6时，an>bn；当n≥7时，bn>an.记数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝.当n≤6时，

15、a1－b1

16、＋

17、a2－b2

18、＋…＋

19、an－bn

20、＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)＝n(n＋1)－；当n≥7时，

21、a1－b1

22、＋

23、a2－b2

24、＋…＋

25、an－bn

26、＝(a1＋a2＋…＋a6)－(b1＋b2＋…＋b6)＋(b7＋…＋bn)－(a7＋…＋an)＝Tn－Sn＋2S6－2T6＝－n(n＋1)＋42.综上，

27、a1－b1

28、＋

29、a2－b2

30、＋

31、…＋

32、an－bn

33、＝5．已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；(2)设Kn为数列{anbn}的前n项和，若不等式λSnTn≥Kn＋n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．解：(1)设数列{an}的公差为d，则解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，所以an＝n＋1，Sn＝.bn＝2n，Tn＝2