高等数学6 定积分的应用.ppt

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1、第六章定积分的应用一、平面图形的面积(介绍元素法）二、立体的体积三、定积分在经济中的简单应用1解两曲线的交点选为积分变量先求曲线交点2解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积3解两曲线的交点4由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．所求面积为解求椭圆的面积.例4令x=asint,则x=0时,t=0;x=a时t=л/2,因此5.得两切线的斜率为故两切线为其交点的横坐标为S=xyo3l1l2–36例6假设曲线y=1-x2,x轴与y轴在第一象限所围成的图形被曲线y=ax2分为面积相等的两部分，其中a为

2、大于零的常数，试确定常数a的值。解求二曲线的交点：由7例7计算由两条抛物线所围成的平面图形的面积。例8计算由平面图形的面积所围成的8元素法一、什么问题可以用定积分解决?(what?)二、如何应用定积分解决问题?(how?)9回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、什么问题可以用定积分解决?101化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整yxoy=f(x)ab..分法越细，越接近精确值曲边梯形的面积f(i).114取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1化整为零2以

3、直代曲(以常代变)3积零为整曲边梯形的面积.f(i)124取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整曲边梯形的面积.f(i)S=.S.ab13若用表示任一小曲边梯形面积用来表示任意小区间则，则上的小曲边梯形的面积：用左端点x来代替如果表示面积函数则或14abxyo面积元素15这种分析方法称为元素法(或微元分析法)16元素法的一般步骤：二、如何应用元素法解决问题?17这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；经济

4、总量；生产者剩余；消费者剩余。18解两曲线的交点面积元素选为积分变量191、已知平行截面面积求立体的体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,二、立体的体积20xA(x)dV=A(x)dxx.aV以下是几个例子b21例9.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。Roxy22oyRx–RR.例9.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。23oyRxxy–RR.

5、...ytan问题：还有别的方法吗？(x,y),截面积A(x)..底圆方程为24oyRx–RR方法2.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。25oyRx–RR方法2ABCDBCDC....截面积S(y)(x,y)=2x=ytan.S(y).半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。26hRxoy–R例10求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。27hRxoxA(x)A

6、(x)V=....–Ry.y底圆方程为28旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积29xyo旋转体的体积为30解直线方程为113132-3334x=g(y)yx0cd曲边梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴旋转体体积x=g(y)yx0cd.曲边梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴旋转体体积x=g(y)yx0cdy....曲边梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴旋转体体积38abf(x)yx0求旋转体

7、体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴xdx39xabyx0内表面积.dx.dV=2xf(x)dxf(x)求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴40byx0a.f(x)求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dx41byx0a.dV=2xf(x)dxf(x)求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴420y0xbxadx.dV=2xf(x)dxf(x)求旋转

8、体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴43f(x)Yx0bdx0yz.a.dV=2xf(x)dx4445例13求由抛物线所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转一周而成的立体的体积。自己思考！46解体积元素为1447例1548解491650极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为51几个常见极坐曲线a52xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线(圆外旋轮线)5