ch6定积分的应用 高等数学

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1、第一节定积分的元素法第六章定积分的应用一、问题的提出二、小结回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）二、小结思考题微元法的实质是什么？思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限.第二节平面图形的面积一、直角坐标系情形二、极坐标系情形

2、三、小结曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？解两曲线的交点选为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积二、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化

3、积分运算）三、小结思考题思考题解答xyo两边同时对求导积分得所以所求曲线为练习题练习题答案第三节体积一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积三、小结旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积xyo旋转体的体积为解直线方程为解解补充利用这个公式，可知上例中解体积元素为二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标

4、系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结思考题思考题解答交点立体体积练习题练习题答案第四节平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形三、参数方程情形四、极坐标情形五、小结一、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长二、直角坐标情形解所求弧长为解曲线弧为弧长三、参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长证根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长四、极坐标

5、情形解解平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结思考题思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．练习题练习题答案第五节功水压力和引力一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力四、小结一、变力沿直线所作的功解功元素所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处点击图片任意处播放暂停解建立坐标系如图这一薄层水的重力为功元素为(千焦)．解设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为例3用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的

6、深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？设次击入的总深度为厘米次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等．次击入的总深度为第次击入的深度为二、水压力解在端面建立坐标系如图解建立坐标系如图面积微元三、引力解建立坐标系如图将典型小段近似看成质点小段的质量为小段与质点的距离为引力水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．（注意熟悉相关的物理知识）四、小结思考题一球完全浸没水

7、中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关．练习题练习题答案