二Ｏ一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷（含答案）.doc

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1、二Ｏ一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷（含答案）一、填空题（10小题，每小题6分，共60分）1．在数列中，，，且（），则.【答案】1．2．如图所示的程序框图中输出的结果为a，若二项式(m>0)的展开式中含的项的系数为,则常数m=_________．【答案】开始i<2014输出a结束否是3．已知对任意，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围是_____________．【答案】x>2或x<－14．已知，且，，，若，则实数a的取值范围是．【答案】．5．AFS国际文化交流组织（AFSIn

2、terculturalPrograms）拟将18个中学生交流项目的名额分配给4所学校,要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为：______________．【答案】3606．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为__________．【答案】(1,1＋)7．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为．【答案】．8．直角梯形ABCD中，

3、AD⊥AB,AB//DC,AB=4,AD=DC=2,设点N是DC边的中点，点是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是______________．【答案】69．设实数，变量满足，且的最小值为，则．【答案】10．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线过椭圆和椭圆（0<）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是．【答案】二、解答题（4小题，共60分）11．（本小题满分14分）在数列中，，，．求数列的前项和．解：由得，．所以数列是首项为，且公比为2的等比数列．∴．…………10分所以数列的前项和．…………14分12．（本

4、小题满分14分）已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（Ⅰ）求∠C大小；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围．解：（I）∵，∴∴，∴，∴，∴…………6分（II）…………14分13．（本小题满分16分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由双曲线离心率为2知，，，所以双曲

5、线方程可化为．又直线方程为．由，得．①设，，则，．因为，所以，故．结合，解得，．代入，得，化简得．又因为已知．所以．此时，，代入①，整理得，显然该方程有两个不同的实根．符合要求．故双曲线的方程为．…………8分（2）假设点存在，设．由（1）知，双曲线右焦点为．设（）为双曲线右支上一点．当时，，，因为，所以．将代入，并整理得，．于是，解得．当时，，而时，，符合．所以符合要求．满足条件的点存在，其坐标为．…………16分14．（本小题满分16分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；（Ⅱ）判断函数

6、的单调性；（Ⅲ）求证：（）．解：（Ⅰ）当时，，∴，∴，所以所求的切线的斜率为3.又∵，所以切点为.故所求的切线方程为：.…………4分（Ⅱ）∵，∴．①当时，∵，∴；②当时，由，得；由，得；综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增．…………10分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当时，在上单调递增．∴　当时，，即．令（），则．另一方面，∵，即,∴　．∴　（）．…………16分方法二：构造函数，∴，∴当时,；∴函数在单调递增．∴函数，即∴，，即令（），则有．…………16分方法三：数学归纳法酌情

7、给分