2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题及答案

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1、二Ｏ一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分）1．已知的外接圆半径为R，且（其中a、b分别是、的对边）.那么的大小为___________.答案：45°2．集合,,,则的取值范围是___________答案：.3．被8除所得的余数是_____________.答案：54．在数列中，对所有的正整数n都有，则.答案：-105．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.则二面角P

2、—BD—A的大小为__________．答案：60°.6．设双曲线的左右焦点分别为，A是双曲线渐近线上的一点，,原点O到直线的距离为,则双曲线的离心率为.答案：7．已知两个互相垂直的单位向量，且,则对任意的正实数t，的最小值是____________.答案：8．若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为____________.答案：9．设，是正实数，且，则的最小值是.答案：10．设是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴；⑵对任意的都有，则=___________.5答案：-1二、解答题（共5小题，满分80分）

3、11．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝2sin2(－x)－cos2x.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若f(x)＜m＋2在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．解析：（Ⅰ）∵f(x)＝1－cos(－2x)－cos2x＝－(sin2x＋cos2x)＋1＝－2sin(2x＋)＋1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．…………………7分（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴≤2x＋≤π，∴

4、≤sin(2x＋)≤1，∴当sin(2x＋)＝时，f(x)取得最大值为1－，即f(x)max＝1－.要使f(x)＜m＋2恒成立，需f(x)max＜m＋2，∴1－＜m＋2，解得m＞－1－，∴m的取值范围是(－1－，＋∞)．…………………14分12．（本小题满分14分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰

5、花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．解　(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.所以y关于n的函数解析式为y＝(n∈N)．…………………6分(2)①X可能的取值为60,70,8

6、0，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②方法一　花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2

7、＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)

8、P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)