年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案

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1、2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题(考试时间:2010年9月4日上午10:00—11:20)题号一二合计123得分评卷人复核人注意事项:1.本试卷共二大题,全卷满分120分。2.用圆珠笔或钢笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.1.方程在区间上的实根个数为_________________.2.设数列的前项和为,则满足不等式的最小整数是_________________.3.已知(,)是常数,且,,,是区间内任意实数,则函数的最大值等于_________________.4.圆周上给定10个点,每

2、两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在圆内一共有_________________个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.6.设是平面上一个定点,,,是平面上不共线的三个点,动点满足,其中,则点的轨迹为_________________.7.对给定的整数,符号表示中使能被3整除的唯一值,那么_________________.8.分别以直角三角形的两条直角边,和斜边为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体的体积依次为,,,则与的大小关系是_____________

3、____.二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本小题满分16分)是否存在实数,使直线和双曲线相交于两点、,且以为直径的圆恰好过坐标系的原点?2.(本小题满分20分)求证:不存在这样的函数,满足对任意的整数,,若,则.3.(本小题满分20分)设非负实数,,满足,求证:2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案一、填空题1.设,则,∵,∴,又,∴,即在区间上单调递增,故方程在区间上有且只有一个实根.2.易知数列是首项是,公比是的等比数列,∴,于是,∵,,故最小整数是7.3.∵,∴,故所求函数的最大值等于.4.圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的

4、两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等,故有个交点.5.6.∵,∴,即,又,为单位向量,由向量加法的平行四边形法则,知点的轨迹为的平分线.7.由二项式定理知,,即被3除余1,∴,,故.8.∵,,∴作商,有,故.二、解答题1.解:设交点、的坐标为、,由消去,得,由韦达定理,得,①,②∵以为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴,∴,即,整理,得③将①②代入③,并化简得,∴,经检验,确实满足题目条件,故存在实数满足题目条件.2.证明:假设存在这样的函数,则对任意的整数,设,,其中,由条件知.由于,,∴且,即是除去,后剩下的那个数,不妨设又由于,,∴.以代替,得,但这与矛盾!因此

5、假设不成立,即不存在这样的函数.3.证明:先证左边的不等式.∵,∴再证右边的不等式.不妨设,注意到条件,得,所以,综上,.

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