函数的对称性.doc

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1、函数的对称性新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原

2、函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为。④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。⑤指数函数：既不是轴对称，

3、也不是中心对称。⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，是它的对称轴。⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中

4、心的纵坐标会跟着变化。⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，是它的对称中心。（11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。（12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。（13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。（14）绝对值函数：这里主要说的

5、是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。二、函数的对称性猜测：1、具体函数特殊的对称性猜测①一个函数一般是不会关于x轴对称，这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x轴对称的。例1、判断曲线的对称性。②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。③函数关于原点对称例3、判断函数的对称性。

6、④函数关于y=x对称例4、判断函数的对称性。⑤函数关于y=-x对称例5、判断函数的对称性。总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；如果（y,x）也在图像上，则该曲线关于y=x对称；如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜测①轴对称例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。（任意取值代入例如

7、x=0有f(1)=f(4)，正中间2.5，从而该函数关于x=2.5对称）例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称）例8、如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）②中心对称例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（因为自变量

8、加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）例10、如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，求该函数的所有对称中心。（按上例一样的方法可以猜出对称中心为（0，0），可见奇函数是特殊的中心对称）例11、如果f(x)为奇函数，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期