九类常见递推数列求通项公式方法.doc

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1、递推数列通项求解方法类型一：（）思路1（递推法）：………。思路2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。例1已知数列满足且，求数列的通项公式。解：方法1（递推法）：………。方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。16类型二：思路1（递推法）：…。思路2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，即。例2已知，，求。解：方法1（递推法）：………。方法2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，。16类型三：思路1（递推法）：……。思路2（叠乘

2、法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠乘并整理得…，即…。例3已知，，求。解：方法1（递推法）：…。方法2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、、，将各式叠乘并整理得…，即…。16类型四：思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。例4已知、,,求。解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即，解得，即。16类型五

3、：（）思路（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。例5已知，，求。解：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。类型六：（且）思路（转化法）：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例6已知，，求。16解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、、…、，各式叠加得，即。类型七：（）思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例7已知，，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的

4、等比数列，即，因而得。类型八：（）思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。16例8已知，，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。类型九：（、）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法

5、与上同理，此处暂不作讨论。例9已知，（），求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设16，由得则，，即，从而，。16常见递推数列通项公式的求法重、难点：1.重点：递推关系的几种形式。2.难点：灵活应用求通项公式的方法解题。【典型例题】[例1]型。（1）时，是等差数列，（2）时，设∴比较系数：∴∴是等比数列，公比为，首项为∴∴[例2]型。（1）时，，若可求和，则可用累加消项的方法。例：已知满足，求的通项公式。解：∵16∴……对这（）个式子求和得：∴（2）时，当则可设∴∴解得：，∴是以为

6、首项，为公比的等比数列∴∴将A、B代入即可（3）（0，1）等式两边同时除以得令则∴可归为型[例3]型。（1）若是常数时，可归为等比数列。（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。16例：已知：，（）求数列的通项。解：∴[例4]型。考虑函数倒数关系有∴令则可归为型。练习：1.已知满足，求通项公式。解：设∴∴是以4为首项，2为公比为等比数列∴∴2.已知的首项，（）求通项公式。解：……16∴3.已知中，且求数列通项公式。解：∴∴4.数列中，，，求的通项。解：∴设∴∴∴……     16∴∴5.已知：，时，，求的通项公式

7、。解：设∴解得：∴∴是以3为首项，为公比的等比数列∴∴【模拟试题】1.已知中，，，求。2.已知中，，（）求。163.已知中，，（）求。4.已知中，，（）求。5.已知中，，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列（2）求的通项公式6.已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证：是等差数列（2）若求的前n项和的最小值161.解：由，得∴……∴∴2.解：由得：∴即是等比数列∴3.解：由得∴成等差数列，∴4.解：∴（）∴（）设即∴是等差数列∴165.解：（1）∴∴是首项为1，公差为2的等差数列∴（2）∴又∵∴6.解：（1）∴时

8、，整理得：∵是正整数数列∴∴∴是首项为2，公差为4的等差数列∴（2）∴为等差数列∴∴当时，的最小值为16