大学自主招生数学讲义 数列的极限与数列综合.doc

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1、2017年自招与三位一体专题第十讲数列的极限与数列综合在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。一、知识精讲一．数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数，那么就说数列以为极限.注：不一定是中的项.二．几个常用的极限：（1）（为常数）;（2）（3）（）.（4）（，且）（5）[来源:学。科。网]三．数列极限的四则运算法则：设数列、，当,时：（）四．无穷等比数列：若无穷等比数列，其所有项的和（各项的和）为：．五．常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于

2、自然数的多项式的商的极限:当时,上述极限不存在.第二类是关于的指数式的极限:当或时,上述极限不存在.一．特殊数列的极限：，（1）是常数）；（2）；[来源:Zxxk.Com]（3）（，为常数）；（4）．下面证明第四个公式证明：令，取自然对数得到，令，得，由洛比达法则得，即所以：，则，即．另外，数列是单调递增的，理由如下：由个正实数的几何平均数它们的算术平均数）有，所以。二．夹逼定理：如果数列、以及满足下列条件：（1）从某项起，即当（其中），有（）；（2）且；那么数列的极限也存在，且三．分期付款问题：分为两种类型：等额本金、等额本息。等额本金是这样一种还款方式：在还款期内把贷款数总额等分，每月

3、偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。这样，由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，因此贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数额越来越少。等额本金贷款计算公式：每月还款金额=（贷款本金还款月数）+（本金-已归还本金累计额）×每月利率。等额本息是这样一种还款方式：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）。[来源:Zxxk.Com]设贷款本金为，月利率为，还款月数为，则每月还款额计算公式为：。二、竞赛题目精练[来源:学科网ZXXK]例1．（2006复旦）设是的展开式中项的系数（），则极限（）（A）15（B）6（C）17（D）8►答案：D►分析与解答：，故，所

4、以。例2．（2009清华）的整数部分为，小数部分为。（1）求；（2）求；（3）求。►分析与解答：（1）由，又，故。[来源:学,科,网Z,X,X,K]（2）。（3），故。又，故，所以。例3．（2000上海交大）如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上。试求的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在。►分析与解答：（因为），即。又，故，即。第个三角形面积，而不存在极限（见第八讲习题16），故也不存在极限，不存在极限。例4．（2002上海交大）两人轮流掷一个骰子，第一次由先掷，若掷到一点，下次仍由掷；若掷不到一点，下次换掷。对同学同样适用该规则。如此依次投掷

5、，记第次由掷的概率为。（1）求与的关系；（2）求。►分析与解答：（1），。（2）解法一：两边同时取极限，设，则。解法二：设，解得。，故，。例5．（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（1）证明：，且；（2）证明：当时，成等比数列.►分析与解答：（1）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于，由于，∴，故.w.w.w.zxxk.c.o.m从而，∴.[来源:学科网ZXXK]∵，∴，故.由具有性质可知.又∵，∴，从而：∴.w.w.w.zxxk.c.o.m（2）由（1）知，当时，有，即，∵，∴，∴，由具有性质可知.，得，且，∴，∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s

6、.5.例6．（2009湖南卷理）对于数列若存在常数，对任意的，恒有则称数列为．[来源:Zxxk.Com]（1）首项为1，公比为的等比数列是否为？请说明理由；（2）设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：①数列是②数列不是B组：③数列是④数列不是请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列、都是，证明：数列也是．►分析与解答：（1）设满足题设的等比数列为,则，于是因此｜-｜+｜-｜+…+｜-｜=因为所以即故首项为1，公比为的等比数列是。（2）命题1：若数列是，则数列是．此命题为假命题。事实上，设，易知数列是，但由的任

7、意性知，数列是，此命题为假命题。命题2：若数列是，则数列是．此命题为真命题事实上，因为数列是，所以存在正数，对任意的有即。于是所以数列是。（III）若数列、都是，则存在正数，对任意的有注意到同理：记，则有因此+故数列是数列例7．（2000上海交大）求极限．►分析与解答：因为，从而转化为积分；由牛顿-莱布尼茨公式（其中满足）得：。所以．例8．（2007武大）设二次函数过点，且满足。数列满足。（1）确定的表达式；（2）证明：