（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题能力训练17直线与圆锥曲线.docx

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1、专题能力训练17　直线与圆锥曲线　专题能力训练第40页　 一、能力突破训练1.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)A.13B.12C.23D.34答案:A解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得

2、FM

3、=k(a-c),

4、OE

5、=ka.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得12

6、OE

7、

8、FM

9、=

10、OB

11、

12、BF

13、,即ka2k(a-c)

14、=aa+c,整理,得ca=13,故椭圆的离心率e=13,故选A.2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)A.510B.55C.255D.455答案:B解析:抛物线x2=4y的焦点为(0,1),双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,所以ba=c2-a2a2=e2-1=2,双曲线的渐近线为y=±bax=±2x,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是11+4=55.故选B.3.如果与抛物线y2=8x相切且倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那

15、么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为(　　)A.4B.22C.2D.2答案:C解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2.而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2(2)2-12=2.4.已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F

16、为C的右焦点,过点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则

17、MN

18、=(　　)A.32B.3C.23D.4答案:B解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则

19、MN

20、=3

21、OM

22、.又

23、OF

24、=2,在Rt△OMF中,

25、OM

26、=2cos30°=3,所以

27、MN

28、=3.5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　

29、　　　　. 答案:32解析:双曲线的渐近线方程为y=±bax.由y=bax,x2=2py,得A2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.∵F0,p2为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0·-ba=-1,解得b2a2=54,∴c2a2=94,即可得e=32.6.设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已

30、知可得,点A的坐标为1,22或1,-22.所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).将y=k(x-1)代入x22+y2=1,得(2k

31、2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.7.如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)-12

32、PA

33、·

34、PQ

35、的最大值.解:(1)设直线AP的斜率为k,则k=