2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价五向量的数量积新人教A版必修2.docx

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1、课时素养评价五向量的数量积　　　　　(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(多选题)以下命题不正确的是(　　)A.若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0B.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0C.a与b是两个单位向量，则a2=b2D.若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°【解析】选A，B，D.上述命题中只有C正确，因为

2、a

3、=

4、b

5、=1，所以a2=

6、a

7、2=1，b2=

8、b

9、2=1，故a2=b2.当非零向量a，b垂直时，有a

10、·b=0，显然A，B错误.根据两个向量夹角的概念，，的夹角应为120°.2.(2019·邯郸高一检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则·=(　　)A.-16　　　B.-8　　　C.8　　　D.16【解析】选D.设∠CAB=θ，所以AB=，·=

11、

12、

13、

14、cosθ=×4cosθ=16.【加练·固】　　在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则·(+)等于(　　)A.-　　B.-　　C.　　D.【解析】选A.由题意，结合图形有·(+)=·2=·=-=-=-.3.(2019·宣城高一检测

15、)已知向量a，b满足

16、a

17、=2，

18、b

19、=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为(　　)A.B.C.D.【解析】选A.

20、a-b

21、=设向量a与a-b的夹角为θ，则cosθ=又因为θ∈[0，π]，所以θ=.4.已知

22、a

23、=

24、b

25、=1，a与b的夹角是90°，c=2a+3b，d=ka-4b，c与d垂直，则k的值为(　　)A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为c·d=0，所以(2a+3b)·(ka-4b)=0，所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0，所以2k=12，所以k=6.二、填空题(每小题4分，共8

26、分)5.(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b=0，若c=2a-b，则cos?a，c?=________. 【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9，所以

27、c

28、=3，因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2，所以cos?a，c?===.答案：6.已知

29、a

30、=2，

31、b

32、=1，且a与b的夹角为，则向量m=a-4b的模为________. 【解析】

33、m

34、2=

35、a-4b

36、2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×+16=12，所以

37、m

38、=2.答案：2三、解答题(共26分)7

39、.(12分)已知非零向量a，b，满足

40、a

41、=1，(a-b)·(a+b)=，且a·b=.(1)求向量a，b的夹角.(2)求

42、a-b

43、.【解析】(1)设a与b的夹角为θ，因为(a-b)·(a+b)=，所以a2-b2=，即

44、a

45、2-

46、b

47、2=.又

48、a

49、=1，所以

50、b

51、=.因为a·b=，所以

52、a

53、·

54、b

55、cosθ=，所以cosθ=，所以向量a，b的夹角为45°.(2)因为

56、a-b

57、2=(a-b)2=

58、a

59、2-2

60、a

61、

62、b

63、cosθ+

64、b

65、2=，所以

66、a-b

67、=.8.(14分)已知

68、a

69、=2

70、b

71、=2，且向量a在向量b方向

72、上的投影为-1.(1)求a与b的夹角θ.(2)求(a-2b)·b.(3)当λ为何值时向量λa+b与向量a-3b互相垂直？【解析】(1)因为

73、a

74、=2

75、b

76、=2，所以

77、a

78、=2，

79、b

80、=1.又因为a在b方向上的投影为

81、a

82、cosθ=-1，所以a·b=

83、a

84、

85、b

86、cosθ=-1.所以cosθ=-，所以θ=.(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因为λa+b与a-3b互相垂直，所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，所以λ=.　　　　

87、　(15分钟·30分)1.(4分)点O是△ABC所在平面上的一点，且满足·=·=·，则点O是△ABC的(　　)A.重心B.垂心C.内心D.外心【解析】选B.因为·=·，所以·(-)=0，即·=0，所以⊥，同理⊥，⊥，所以O是△ABC的垂心.2.(4分)在△ABC中，∠C=90°，

88、AB

89、=6，点P满足

90、CP

91、=2，则·的最大值为(　　)A.9B.16C.18D.25【解析】选B.取AB的中点D，连接CD.设与的夹角为α，则：·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·(+)=22+·2=4+2·=4+2

92、

93、·

94、

95、co

96、sα=4+2×2×3cosα=4+12cosα，所以当α=0°时，·的最大值为16.3.(4分)已知向量a，b的夹角为45°，且

97、a

98、=4，·(2a-3b)=12，则

99、b

100、=________；b在a方向上的投影等于________. 【解析】·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=12，即3

101、b

102、2-

103、b

104、-4=0，解得

105、b

106、=(舍负值)，b在a方向上的投影是

107、b

108、cos