第二章 第3课时.doc

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1、§2.3　函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1

2、做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[难点正本　疑点清源]1．函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等

3、函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．3．单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．1．f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________.2．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是__________．3．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，

4、A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2f(x2)”的是________．(填序号)①f(x)＝；　　　　　②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝e2;④f(x)＝ln(x＋1)．5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数

5、f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数；(3)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．探究提高　(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是：取值—作差—变形—确定符号—下结论．(2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论．导数法是比较常用的一种方法．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．题型二　求函数的单调区间例2　求函数y＝log(x2－3x＋2)的单调区间．探究提高　求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．

6、(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)本题的易错点是忽视函数的定义域．求函数y＝的单调区间．题型三　抽象函数的单调性及最值例3　已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最

7、小值．探究提高　对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等．(2012·西安模拟)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明．(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．　　　　　　　　　2.函数的单调性与不等式试题：(14分)函数f(x)

8、对任意的m