周世勋量子力学教案.doc

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1、第一节　力学量算符一. 算符算符:作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用表示一算符。                                                    二．力学量算符  1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：         , , 3.动能算符      4.哈密顿算符：                          5.角动量算符：   如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出  

2、                              算符和它所表示的力学量的关系？第二节　算符基本知识一 线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。二 单位算符    保持波函数不改变的算符三 算符之和                      加法交换律  加法结合律   两个线性算符之和仍为线性算符。四 算符之积       定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。五 逆算符设  能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。 ， 六 算符的复共轭，转置，厄

3、密共轭1． 两个任意波函数与的标积                                2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量      3． 转置算符定义:  算符的转置算符满足：        即：                                 4． 厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为                             即    算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符                      5.       厄密算符厄密算符是满足

4、下列关系的算符           注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符  证：       为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数　　设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为             如为厄密算符，也是厄密算符             存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。即. 这种状态称为力学量的本征态。

5、在这种状态下              称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。二力学量算符的性质1.       力学量算符是厄密算符 量子力学的一个基本假定: 测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。 厄密算符的本征值必为实数证： 设         为厄密算符    取                      是实数表示力学量的算符为厄密算符2．力学量算符为线性算符  态叠加原理决定了力学量算符为线性算符   【证】： 设                        也应是体系的态             即 

6、                       为线性算符三厄密算符本征函数的性质1正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。如果两函数和满足积分是对变量变化的全部区域进行,则称与相互正交。 [证]:   已知            为实数                                               由厄密算符性质                这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的  对归一化的本征函数                                分离谱         连续谱这样的

7、本征函数构成正交归一系.2.       完备性设为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为,对应的本征值为则任一函数可按展开             本征函数的这种性质称为完备性与x无关,利用的正交归一性,将等式两边，对x在整个区域积分    即:    如总归一化         讨论:当是算符的一本征函数时,即即其它系数为零,这时测量力学量的测量值必是当不是的本征函数时,可按本征函数展开,  测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为的几率为波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态  量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假

8、定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符的本征值之一,测得的几率是四力学量算符的平均值.对于一态,将其按某力学