对空间成等角问题的几个探究.doc

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1、对空间成等角问题的几个探究江苏省前黄高级中学翁玉中（213172）大家肯定熟知这样一个问题：[问题].设空间两异面直线a、b成角，则过空间一点P，而与两异面直线a、b成等角（为锐角）的直线有几条？对于这一问题，大家已有足够的认识：可以通过点P分别作异面直线a、b的平行线a1、b1，则直线a1、b1成角（），所以要考虑过P而与两异面直线a、b成等角（为锐角）的直线有几条，只须考虑过P而与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有几条即可，由此易知：（1）当0<0<时，与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线不存大，从而知与两异面直线a、b成等角的直线不存在;

2、（2）当0=时，与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有且只有一条，从而知与两异面直线a、b成等角的直线有且只有一条；（3）当<0<时，与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有且只有两条，从而知与两异面直线a、b成等角的直线有且仅有两条；（4）当0=时，与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有且只有三条，从而知与两异面直线a、b成等角的直线有且仅有三条；（5）当<0<时,与直线a1、b1成等角（为锐角）的直线有且只有四条，从而知与两异面直线a、b成等角的直线有且仅有四条。若上述问题中的两条异面直线a、b换成两个相交平面、，则情况又如何呢？[探究一].

3、设空间两平面、相交形成的锐角二面角的度数为，则过空间一点P而与平面、成等角（为锐角）的直线有几条？对于一条直线与两个相交平面成等角问题，大家感觉比较难以想像，因此就有无从下手的感觉。其实，我们可以通过平面的法线（所谓平面的法线即与此平面垂直的直线）与直线所成的角来反应平面与直线所成的角的情况。4Plab我们先考虑直线与平面所成的角和直线与平面的法线所成的角之间的关系。[引理]、直线a与平面所成的角与直线a与平面的法线所成的角必互余。事实上，设直线l为平面的法线，垂足为P，不妨设直线a与平面斜交，交点为P（否则可进行平移），且直线a在平面内的射影为直线

4、b，则直线l、a及b必共面，且共点于P，从而必有直线a与平面的夹角和直线a与平面的法线l的夹角互为余角。显然当直线a与平面平行或垂直时，上述结论也成立。由上述引理可知，要考虑“过空间一点P而与平面、成等角的直线有几条？”这个问题，只须考虑过点P而与平面、的法线成等角的直线有几条即可，此时不妨设平面、的法线是两异面直线。由于平面、相交形成的锐角二面角的大小为，故平面、的法线的夹角也为，则此时过点P而与平面、的法线成等角的直线的情况可以根据对[问题]的讨论可得：（1）当0<<，即时，与平面、的法线成等角的直线不存在，从而知此时与平面、成等角的直线不存在；

5、（2）当=，即时，与平面、的法线成等角的直线恰有一条，从而知此时与平面、成等角的直线恰有一条；（3）当，即时，与平面、的法线成等角的直线恰有两条，从而知此时与平面、成等角的直线恰有两条；（4）当，即时，与平面、的法线成等角的直线恰有三条，从而知此时与平面、成等角的直线恰有三条；（5）当，即时，与平面、的法线成等角的直线恰有四条，从而知此时与平面、成等角的直线恰有四条。如果将探究一中的过点P的直线也变成平面，则情况又如何呢？4[探究二].设空间两平面、相交形成的锐角二面角的度数为，则过空间一点P而与平面、构成大小均为（为锐角）的二面角的平面有几个？对于

6、一平面与两已知平面分别形成两个相等二面角比一直线与两已知平面成等角更难想像，但若将平面与平面形成二面角相等的问题转化到平面的法线之间形成的角相等，则就可以借助于[问题]所得结论来考虑了。其实，两个平面形成的锐二面角的度数必与它们的法线的所成的角相等。所以过P点且与平面、构成大小均为（为锐角）的二面角的平面的法线与平面、的法线必成等角，所以要考虑过点P且与平面、构成大小均为（为锐角）的二面角的平面的个数，只须考虑过P点且与平面、的法线成等角（为锐角）的直线有几条，因为以此直线为法线且过点P的平面即为所要考虑的平面。此时，由于平面、成锐角二面角，故平面、

7、的法线所成的角也为。故由[问题]的讨论易知：（1）当0<0<时，过点P且与平面、的法线成等角的直线不存在，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面不存在；（2）当0=时，过点P且与平面、的法线成等角的直线有且只有一条，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面有且只有一个；（3）当<0<时，过点P且平面、的法线成等角的直线有且只有二条，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面有且只有二个；（4）当0=时，过点P且与平面、的法线成等角的直线有且只有三条，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面有且只有三个；（5）当

8、<0<时,过点P且与平面、的法线成等角的直线有且只有四条，所以此时过点P且与平面、构成大小均为的二面角的平面