矩阵的对角化.docx

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1、第四章矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史

2、上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对

3、角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例4.1.1经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设x0，y0分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，x1，y1分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系x1=3x0+y0，y1=2x0+2y0.令α0=x0y0，α1=x1y1，A=3122，则上述关系的矩阵形

4、式为：α1=Aα0.若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平α0=x0y0=11，则若干年后的环境污染水平与经济发展水平为α1=Aα0=3122x0y0=312211=44=411=4α0，即Aα0=4α0.这里，4就是矩阵A的一个特征值，α0是矩阵A的对应于4的一个特征向量.定义4.1.1设A为n阶矩阵，若存在数λ和n维非零列向量α，使得Aα=λα；则称λ为矩阵A的特征值，α0是矩阵A一个特征值，α0称为A的属于（或对应于）特征值λ的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若α为A的属于λ的特征向量，则对于非实数k，kα也是A的属于

5、λ的特征向量.（2）若α1，α2为A的属于λ的特征向量，则当α1+α2≠0时，α1+α2也是A的属于λ的特征向量.（3）若λ1，λ2为A的互异特征值，α1，α2分别为A的属于λ1，λ2的特征向量，则α1≠α2.证若α1≠α2，则Aα1≠Aα2，即λ1α1=λ2α2=λ2α1，故λ1-λ2α1=0.由于λ1≠λ2，所以α1≠0，矛盾.因此α1≠α2.例4.1.2求n阶方阵A=abb⋯bbab⋯b⋮⋮⋮⋮bbb⋯a的一个特征值与所对应的特征向量.解取n维向量α=1，1，1T，则Aα=abb⋯bbab⋯b⋮⋮⋮⋮bbb⋯a11⋮1=a+n-1b

6、a+n-1b⋮a+n-1b=a+n-1b11⋮1=a+n-1bα，故λ=a+n-1b是A的一个特征值，α是A属于特征值λ=a+n-1b的一个特征向量.将（4.1.1）写成下面形式λE-Aα=0.根据定义，特征向量α就是齐次线性方程组λE-Aα=0.（4.1.2）的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知n阶矩阵A的特征值λ满足方程λE-A=0.为叙述方便，引入下面的概念.定义4.1.2.A=aijn×n，称fλ=λE-A=λ-a11a12⋯-a1n-a21λ-a22⋯-a2n⋮⋮⋮-an1-an2⋯λ-ann

7、为矩阵A的特征多项式，λE-A称为A的特殊矩阵，λE-A=0称为A的特征方程.二、特征值与特征向量的计算求n阶矩阵A的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：（1）计算A的特征多项式λE-A，求出特征方程λE-A=0的全部根λ1，λ2，⋯，λn.对每个特征值λii=1，2，⋯，n，求解齐次线性方程组λiE-Ax=0.设它的一个基础解系为αi1，αi2，⋯，αini，则A的属于λi的全部特征向量为k1αi1+k2αi2+⋯+kniαini其中k1，k2，⋯，kni为不全为零的任意常数.限于本教材适用范围，我们将不讨论A的复特征值和特征向量.例4

8、.1.3求矩阵A=2-20-21-20-20的特征值与特征向量.解矩阵A的特征多项式fλ=λE-A=λ-2202λ-1202λ=λλ-1λ-8-8λ-1=λ+2λ-1λ-4由λE-A=0，得A