中考备考中的二次函数问题（李柏生）.doc

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1、中考备考中的二次函数问题——抛物线上求点的坐标的技巧与方法归纳武汉市汉铁初中李柏生二次函数问题，一直是中考中的一个难点问题，近年来，二次函数问题经常被很多省市作为中考的压轴题，它是几何问题与函数问题的综合题，几乎涵盖所有的几何考点和函数考点，加之对代数中等式的变形，方程的思想等都有较高的要求。这个问题一直是教师在指导复习备考中的重点内容，也是学生感到困难的问题，而很多二次函数问题都涉及到抛物线上点的坐标的求法，对于这类问题的求解技巧与方法笔者作了以下的归类和总结：一、当直线与抛物线相交时，可以采用直线的解析式与抛物线的解析式联立的方法求解。例1：已知抛物线交轴于A、B两点（A

2、点在B点的左边），且AB＝2，交y轴于点C。（1）求这个抛物的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得锐角∠MCA的正切值大于3？若存在，求出点M横坐标的取值范围；若不存在，说明理由。分析：本题第（2）题主要求出M横坐标的最大值和最小值的零界值，由画图象可知：当时，有最大值，当MC与AC垂直时，有最小值，而求解方法可以利用，所在的直线的解析式与抛物线的解析式联立，求出的坐标。简解：①当时，过A作AC⊥AK交的延长线于K。Rt中，，过K作KD⊥轴，垂足为D。∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∠KDA＝∠AOC＝90°，∴△KDA∽△AOC∴，∴DA＝3CO

3、＝9，∴DK＝3AO＝9∴KC：7，∴（舍）∴②过C作AC⊥M2C交抛物线于M2过M2作M2E⊥y轴，垂足为E，易得△M2CE为等腰Rt△∴,∴,∴（舍）∵成立，不成立∴M的横坐标的范围为例2：如图，抛物线经过，两点，与轴交于另外一点B。（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连结BD，点P为抛物线上的一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标。分析：由（1）（2）可知：，，，，本题求解方法众多，其中一种方法利用BP直线的解析式与抛物线的解析式联立求得。简解：过D作DK⊥BD交BP的延长线于K。过D作DF

4、⊥x轴，垂足为F，过K作KE⊥DF，垂足为E，由△DKB为等腰Rt△,可得△DKE≌△BDF∴BF＝DE＝1，KE＝DF＝4，∴K（－1，3）∴KB：，∴解得（舍）当时，，∴7二、可以利用几何手段求出抛物线上点的横、纵坐标的数量关系，用同一字母表示点的坐标代入抛物线的解析式求得。求抛物线上的点的坐标，可由该点向轴，轴引垂线，可以考虑相似、全等、勾股定理、面积、特殊图形的性质等找出该点到轴，轴垂线段的长度的数量关系，从而用同一字母表示点的坐标，然后代入抛物线的解析式，即可解得。例3：已知抛物线与轴交于点，与y轴交于点。（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P为抛物线上的点，且在第

5、二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标。分析：由（1）可得过P分别作轴的垂线，垂足分别为F、E点，实际上是△POB与△POA的高之比。利用面积比和底之比从而求出高之比。简解：如图，当，，∴，即AO＝3又，＝AO×PF×，＝OB×PE×∵＝2，∴∴设PF＝3m，PE＝2m，∴将其代入解析式，中解得，（舍）∴例4：抛物线经过点交7轴于A，B（A在B的左侧）两点，且OC＝3OA。（1）求抛物线的解析式；（2）点P为轴上方抛物线上的一点，若△PCB与△AOC相似，求P点坐标。分析：由△PCB与△AOC相似，可能是△PCB∽△AOC，也可能是△CPB∽△AOC。

6、由（1）可得①若△CPB∽△AOC，如图1过P分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，由△CPB∽△AOC，可得∠AOC＝∠CPB＝90°，从而△PCF∽△PBE，∴②若△PCB∽△AOC，如图2，由△PCB∽△AOC，∴∠AOC＝∠PCB＝90°，过P作PG⊥y轴。得△PGC∽△COB，从而可求P。简解：①若△CPB∽△AOC，如图1，∴∠AOC＝∠CPB＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠2＝∠3.又∠PFC＝∠PEB＝90°∴△PFC∽△PEB，∴设PE=m，PE＝3m，∴将其代入解析式中，解得（舍）∴②若△PCB∽△AOC如图2，△BOC为等腰Rt△∴∠

7、BCO＝45°，又∠PCB＝90°，∴∠PCG＝45°又∠PGC＝90°，∴△PCG为等腰Rt△，设∴，代入解析式中，（舍），∴三、设抛物线上的点为，用解方程组的方法求出的值，从而求得P的坐标。法抛物线上的点向轴分别作了垂线之后，无法通过几何手段找出点的横、纵坐标的数量关系时，可以用两个字母设抛物线上的点的坐标，但需要两个等式联立成方程组来求。抛物线的解析式可作为一个等式，另一个等式可以通过几何手段，比如利用相似、勾股定理、7面积、全等等找到等量。例5：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（A在