2013年高考文科数学北京卷试题与答案word解析版.doc

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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.19．(2013北京，文19)(本小题共14分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形

2、OABC不可能为菱形．20．(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a1，a2，…，an，对i＝1,2，…，n－1，该数列的前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1＞0.证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．2013北京文科数学第3页2013年普通高等学校夏季招

3、生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题　共40分)17．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF

4、.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.18．解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)1所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b

5、＞1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1＞4b－2b－1＞b，f(0)＝1＜b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b＞1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．19．解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A，代入椭圆方程得，即.所以

6、AC

7、＝.(2)假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k

8、≠0.由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，.2013北京文科数学第3页所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.(2)因为a1＞0，公比q＞1，所以a1，a2，…，an是递增数列．因此，对i＝1,2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.于是对i＝1,2，…，n－1，di＝Ai－Bi＝

9、ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.因此di≠0且(i＝1,2，…，n－2)，即d1，d2，…，dn－1是等比数列．(3)设d为d1，d2，…，dn－1的公差．对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d＞0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d＞Bi＋di＝Ai.又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1＞Ai≥ai.从而a1，a2，…，an－1是递增数列．因此Ai＝ai(i＝1,2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1＜a1，所以B1＜a1＜a2＜…＜an－1.因此an＝B1.所以B1＝B