2、·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.【补偿训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若
3、AB
4、=16,这样的直线有 ( )A.一条 B.两条C.三条D.四条【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为
5、AB
6、=16,所
7、以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.(2016·小初高优秀教案经典小初高讲义泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是 ( )A.x+y=5B.x2+y2=9C.+=1D.x2=16y【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方
8、程为-=1(x≥4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:+=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以y=3,满足题意.4.(2016·青岛高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是 ( )A.B.C.D.【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两
9、渐近线的交点坐标B,C,则=,=.又2=,所以2a=b,所以e=.【补偿训练】已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点.若△ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为 ( )A.1+B.1±C.D.±1【解析】选A.因为△ABF2是直角三角形,所以∠AF2F1=45°,
10、AF1
11、=
12、F1F2
13、,=2c.所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0.小初高优秀教案经典小初高讲义解得e=1±.又e>1,所以e=1+.5.(2016·沈阳高二
14、检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为 ( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根
15、与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .【解析】由题意
16、知,椭圆的焦点坐标是(±,0),离心率是.故在双曲线中c=,e==,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是-=1.答案:-=17.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线C于A,B两点.若=4,则双曲线C的离心率为 .【解析】设A,B两点坐标分别
