第四章方程求根的迭代法(21-22).ppt

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1、重庆大学数理学院数值分析第十讲主讲教师：谭宏§4、3牛顿法1、公式的导出利用同解变换将f(x)=0化为同解方程从而得出的迭代格式，往往只是线性收敛。为得出超线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法。设xk是根的近似值，则按泰勒公式取前两项来近似代替(称为f(x)的线性化)，得近似线性方程设，令所得根的近似值为xk+1，得（12）这就是牛顿公式相应的迭代函数为：（13）牛顿法是一种逐步线性化方法，其基本思想是：将非线性方程的求根问题归结为计算一系列线性方程牛顿法的几何意义如下图x*x0x1x2xyf(x)故牛顿法也称为切线法例：用牛顿法求解方程解：

2、设则迭代函数故牛顿公式为取迭代结果如下：可见，牛顿法比迭代法收敛速度快得多。定理4：牛顿法在f(x)=0的单根附近为平方收敛。证：将在根处泰勒展开有：则因为所以即：所以牛顿法在f(x)=0的单根附近为平方收敛。牛顿法的收敛性定理3：设f(x)在[a,b]上满足下列条件：（1）f(a)f(b)<0；（2）f’(x)0；（3）f(x)存在且不变号；（4）取x0[a,b]，使得f(x)f(x0)>0则由（2.3）确定的牛顿迭代序列{xk}收敛于f(x)在[a,b]上的唯一根x*。证：由条件（1）知：方程在（a，b）内有根由条件（2）知：f

3、(x)在[a，b]上单调，故根唯一由条件（1）-（3）知：f(x)只可能是下列情况之一讨论第一种情况，其余的类似由于f(x)单调增，且f(a)<0，由条件（4）知所以：且对任意比有于是：而：所以：即：只要则迭代序列总满足：又：所以迭代序列为一个单调增且有上界的序列，它比有极限。设极限为则：即：所以：牛顿法对初始值的依赖性很强，开方公式3、牛顿下山法为防止迭代发散，可以对迭代过程再附加一个要求满足这项要求的算法称下山法。将牛顿法和下山法结合起来使用称为牛顿下山法。其中称为下山因子中