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《第四章方程求根的迭代法(19-20).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、重庆大学数理学院数值分析第十讲主讲教师：谭宏第四章非线性方程求根1．教学内容：二分法、迭代法的一般原理、NEWTON迭代法2．重点难点：重点：牛顿迭代法及局部收敛性难点：迭代法及收敛性定理3．教学目标：掌握迭代法的一般原理、对给出的方程球根问题，能利用一般迭代法或者牛顿迭代法进行数值求解在中学时，我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的高次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法，也是精确法。但在实际中，有许多方程问题无法求出公式解。例如超越方程看起来很简单，却不容易求得精确解。至于解三次、四次代数方程，尽管存在着求解公式，却不实用，而对一般的五次或五次以上的代数方程，根本没有求根公
2、式。另一方面，在实际应用中，只要能获得具有预先给定的误差限内的近似值就可以了。因此，需要引进能够达到一定精度要求的求方程近似值的方法。求方程的根也叫求函数的零点。需要解决的几个问题：1．根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？2．这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？3．根的精确化定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，如果f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一实根x*。§4、0二分法二分法的基本思想是：逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求出满足给定精度的根的近似值。执行步骤1．计算f(x)在有解
3、区间[a,b]端点处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中点处的值f(x1)。3．判断若f(x1)=0，则x1即是根，否则检验：（1）若f(x1)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x1]，b1=x1,a1=a;（2）若f(x1)与f(a)同号，则知解位于区间[x1,b]，a1=x1,b1=b。反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：(a,b),(a1,b1),…,(ak,bk),…4、当时5、则即为根的近似①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢Yx0abYx0ab误差估计：由于：所以，二分法可以求得任意精度的根。对于任意给定的精度要求
4、：由得：即：只要二分K次，就可得到指定精度的根。例：求方程在区间[1,1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。用二分法，这里a=1,b=1.5，且f(a)<0，f(b)>0。取区间[a,b]的中点x0=1.25将区间二等分，由于f(x0)<0，即f(x0)与f(a)同号，故所求的根必在x0的右侧，这里应令a1=x0=1.25，b1=b=1.5，而得到新的有根区间（a1,b1）。解：对区间（a1,b1）再用中点x1=1.375二分，并进行根的隔离，重复上述步骤，如此反复二分下去。我们预先估计一下二分的次数：按误差估计式得：解得k=6，即只要二分6次，即达所求精度。kakbkxkf(xk
5、)的符号011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-定义f(x)f(a)f(b)>0f(a)f(b)=0f(a)=0打印b,k打印a,k结束是是是否否否m=(a+b)/2
6、a-b
7、<f(a)f(b)>0打印m,ka=mb=m结束k=K+1是是否否输入k=0二分法程序流程图§4、1迭代过程的收敛性1、迭代法的设计思想迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固定公式－所谓迭代公式反复校正根的
8、近似值，使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代初值逐步加工成满足精度要求的根。迭代法的设计思想是：f(x)=0等价变换迭代函数把根的某个猜测值=()代入迭代函数得一般地：迭代过程的几何表示Ox*x2x1x0xy例：求方程的一个根解：等价变换迭代格式x1=0.4771x2=0.3939…x6=0.3758x7=0.3758取初始值x0=1，可逐次算得迭代法的设计思想是：f(x)=0等价变换迭代函数问题：？1、怎样选取迭代函数2、怎样保证迭代收敛3、怎样加速迭代收敛xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x
9、*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p13、压缩映像原理定理1：如果(x)满足下列条件（1）当x[a,b]时，(x)[a,b]（2）当任意x[a,b]，存在0
