泰勒公式及其应用典型例题.doc

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1、.  泰勒公式及其应用常用近似公式,将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示,这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙(尤其当较大时),从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进:1、提高近似程度,其可能的途径是提高多项式的次数。2、任何一种近似,应告诉它的误差,否则,使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化:对复杂函数,想找多项式来近似表示它。自然地,我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如:在某点处的值与导数值;我们还关心的形式如何确定;近似所产生的误差。【问题一】设在含的开区间内具有直到

2、阶的导数,能否找出一个关于的  次多项式范文..近似?【问题二】若问题一的解存在,其误差的表达式是什么?一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数。    ……………上述工整且有规律的求系数过程,不难归纳出:范文..于是,所求的多项式为: (2)二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数,则当时,可以表示成这里是与之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:范文..  这表明:只要对函数  及 在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】

3、以与为端点的区间或记为 , 。函数  在上具有直至  阶的导数,且  函数  在上有直至阶的非零导数,且  于是,对函数  及  在上反复使用  次柯西中值定理,有范文..三、几个概念1、此式称为函数按的幂次展开到 阶的泰勒公式;或者称之为函数在点  处的  阶泰勒展开式。当  时,泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。因此,我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。2、对固定的,若 有  范文..此式可用作误差界的估计。故  表明:误差是当 时较  高阶无穷小,这一余项表达式称之为皮亚诺余项。3、若,则在  与 之间

4、,它表示成形式   ,泰勒公式有较简单的形式—— 麦克劳林公式 近似公式误差估计式【例1】求的麦克劳林公式。解: 范文.., 于是  有近似公式    其误差的界为  我们有函数 的一些近似表达式。(1)、    (2)、  (3)、在matlab中再分别作出这些图象,观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。【例2】求  的 阶麦克劳林公式。解:它们的值依次取四个数值 。范文..其中:   同样,我们也可给出曲线  的近似曲线如下,并用matlab作出它们的图象。           【例3】求的麦克劳林展开式的前四项,并给出皮亚

5、诺余项。解:     于是: 范文..利用泰勒展开式求函数的极限,可以说是求极限方法中的“终极武器”, 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。【例4】利用泰勒展开式再求极限 。解:,   【注解】现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为,从而当时,,应为  【例5】利用三阶泰勒公式求 的近似值,并估计误差。解:范文..故:欢迎您的光临,wdrd文档下载后可以修改编辑。双击可以删除页眉页脚。谢谢!单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无

6、所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。范文.

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