泰勒公式及其应用典型例题

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1、泰勒公式及其应用常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。【问题一】设在含的开区间内具有直到阶的导数

2、，能否找出一个关于的  次多项式近似?【问题二】若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数。    ……………上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：于是，所求的多项式为： (2)二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成这里是与之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：  这表明：只要对函数  及 在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】以与为端点的区间或记为 ， 。函数

3、  在上具有直至  阶的导数，且  函数  在上有直至阶的非零导数，且  于是，对函数  及  在上反复使用  次柯西中值定理，有三、几个概念1、此式称为函数按的幂次展开到 阶的泰勒公式；或者称之为函数在点  处的  阶泰勒展开式。当  时，泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。2、对固定的，若 有  此式可用作误差界的估计。故  表明：误差是当 时较  高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。3、若，则在  与 之间，它表示成形式   ，泰勒公式有较简单的形式—— 麦

4、克劳林公式 近似公式误差估计式【例1】求的麦克劳林公式。解： ， 于是  有近似公式    其误差的界为  我们有函数 的一些近似表达式。(1)、    (2)、  (3)、在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。【例2】求  的 阶麦克劳林公式。解：它们的值依次取四个数值 。其中：   同样，我们也可给出曲线  的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。           【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。解：     于是： 利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极

5、限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。【例4】利用泰勒展开式再求极限 。解：，   【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为，从而当时，，应为  【例5】利用三阶泰勒公式求 的近似值，并估计误差。解：故：