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时间：2019-11-24
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1、例1用泰勒公式，证明：当x>1时，.证设，则f(x)当x>1时有二阶导数，且.将f(x)点x=1处依泰勒公式展开，得即由于，故f(x)>0，即.从而例2设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，若，则在(a,b)内至少有一点，使证由泰勒公式，得令，代入得相减，得设则例3验证当时，按公式计算的近似值，所产生的误差小于0.01；并求的近似值，使误差小于0.01.解因为公式右边是的三阶麦克劳林公式，故误差又已知，从而，故误差例4求函数按(x－4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.解由于，故因此其中介于x与4之间.例5利用泰勒公
2、式求极限解例6求函数在x=0处的n阶导数(n≥3)解由f(x)和的麦克劳林公式比较的系数得故 五、练习题1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.(1)(2)sin18°（答：(1)；(2)0.3090，误差为）2、设函数f(x)在(－1,1)内具有二阶连续导数，且，试证：对于任意非零，存在唯一的，使成立，且.（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）3、求函数的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.（答：）4、利用泰勒公式求极限（答：）5、求函数的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式（答：）
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