第3章 《导数及其应用-3-1.doc

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1、第3章《导数及其应用-3.3-3.3.2》同步练习一、填空题1．已知函数y＝f(x)的图象如图3－3－6所示，则函数的极值点共有________个，极大值点为________，极小值点为________．图3－3－6【解析】　根据极值的定义判断即可．【答案】　4　x2，x5　x3，x62．函数y＝x3＋x2－x＋1在x＝________处取极大值．【解析】　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)．当－1或x<－1时，y′>0.∴函数在x＝－1处取极大值．【答案】　－13．函数y＝2x3－6x2－18x＋

2、7的极大值是________，极小值是________．【解析】　y′＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值f(－1)极小值f(3)因此，当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝17，当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－47.【答案】　17　－474．(2013·深圳高二检测)已知函数y＝ax3－15x2＋36x－24在x＝3处有极值，则函数的递减区间为________．【解析】　y′＝3ax2－30x＋36.∵x

3、＝3是极值点，∴y′

4、x＝3＝0，即27a－90＋36＝0，∴a＝2，∴y′＝6x2－30x＋36.令y′<0，即6x2－30x＋36<0，即x2－5x＋6<0，∴2

5、________．【解析】　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令f′(x)＝0，则x2＋2ax＋a＋2＝0.∵f(x)既有极大值又有极小值，∴f′(x)＝0有两个不相同的实数解，∴Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＜－1或a＞2.【答案】　(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则此函数的解析式是________．【解析】　设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，即解得：a＝1，b

6、＝－6，c＝9，d＝0.【答案】　y＝x3－6x2＋9x8．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．【解析】　f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.【答案】　9二、解答题9．(2013·长沙高二检测)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.求f(x)的单调区间与极值．【解】　

7、由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2x在x＝－1处取得极值，且在点(1，f(1))处的切线的斜率为2.(1)求a，b的

8、值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间和极值．【解】　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋2，由题意得，即，解得，经检验，符合题意，故a＝－，b＝.(2)由(1)得f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表；x(－∞，－1)－1(－1，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值由表可知，f(x)的单调递增区间为(－1，2)，单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数f(x)的极大值为f(2)＝，极小值为f(－1)＝－.

9、11．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．【解】　(1)f′(x)＝3x2－3a