16-2二元函.ppt

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1、§2二元函数的极限二元函数的极限二累次极限回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x不论是从x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.表示如图xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxxx0就是>0,>0.当0<

2、x–x0

3、<时,有

4、f(x)–A

5、<.定义1设f为定义在DR2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个实数.若使得当时，都有则称f在D上当P→P0时，以A为极限，记为简记为也记为一二元函数的极限设f(x,y)为DR2上的二元函数，P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个实数.若使得当时，都有则称f在D上当(x,y)→(

6、x0,y0)时，以A为极限，记为也记为极限的方邻域定义设f(x,y)为DR2上的二元函数，P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个实数.若使得当时，都有则称f在D上当(x,y)→(x0,y0)时，以A为极限，记为也记为极限的圆邻域定义注从形式上看，二元函数极限的定义与一元函数极限的定义类似.但二元函数极限远比一元函数极限要复杂得多，这主要体现在，平面上P→P0的方式，要比直线上x→x0的方式要复杂得多.但不管以什么方式P→P0,f都要以A为极限.设二元函数z=f(X)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任何方向,以任何

7、方式),对应的函数值f(X)无限接近于数A,则称A为当X趋近于X0时f(X)的极限.MX0Ayzxof(X)例1用定义证明证因为，不妨限制在点(2,1)的于是有所以就有练习用定义证明:证>0,<时,有

8、f(x,y)–0

9、<).考虑

10、f(x,y)–0

11、(要证>0,使得当要使

12、f(x,y)–0

13、<,只须即

14、f(x,y)–0

15、<故例2设证明证作极坐标变换另解因为说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限的几何意义：>0，P0的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数的图

16、形总在平面及之间。oxy1z=x2+y2+1y=kx在平面上的(0,0)点处.例如：z(和的极限等于极限的和)二重极限存在的例子都有z1有z1有故：在xoy平面上点..定理16.5的充要条件是：对D的任一子集E，只要是E的聚点，就有.)(lim)(lim1010101也不存在则不存在若的聚点，是，设推论Pf，PfEPDEDPEPPPPPÎή®Ì.)(lim)(lim)(lim,2020102121021不存在，则但，若存在极限是它们的聚点，，设推论PfAAAPfAPfPDEEDPEPEPPPPPPPÎÎή®®¹==Ì.)}({},{lim)(lim3000都收敛它所对应的

17、函数列的点列且，的任一满足条件对于的充要条件是：极限推论nnnnnDPPPPfPPPPPDAPf=¹=¥®Î®注意：是指P以任何方式趋于P0.一元中多元中.)0,0(),(),(322时是否存在极限当讨论例®+=yxyxxyyxf,)0,0(),(时定点而趋于沿着直线当动点解mxyyx=oxyzay=–x..那么，曲面在点(0,0)附近的形状是怎样的呢?曲面与z轴无交点;曲面关于平面y=x对称；曲面关于平面y=–x对称；y=x二重极限不存在的例子oxyy=xza.D.那么，曲面在点(0,0)附近的形状是怎样的呢?曲面与z轴无交点;曲面关于平面y=x对称；曲面关于平面y=–x对称；

18、y=0二重极限不存在的例子.oxyy=kxy=xza.D.那么，曲面在点(0,0)附近的形状是怎样的呢?曲面与z轴无交点;曲面关于平面y=x对称；曲面关于平面y=–x对称；y=0.二重极限不存在的例子.oxyy=kxy=xzay=–x.D.那么，曲面在点(0,0)附近的形状是怎样的呢?曲面与z轴无交点;曲面关于平面y=x对称；曲面关于平面y=–x对称；.y=0.二重极限不存在的例子.oxyy=kxy=xzay=–x.D.那么，曲面在点(0,0)附近的形状是怎样的呢?曲面与z轴无交点;y=0曲面关于平面y=x对称；曲面关于平面y=–x对称；.但曲面无限逼近z轴二重极限不存在的例子.

19、例4二元函数当(x,y)沿直线趋于原点时，相应的f(x,y)都趋于零.当(x,y)沿抛物线y=kx2(0ÇÎ>$>"Ì®®)(lim)(lim,,)();(),(,00),(2000),(),(0000002PfPfPPDfMPfDPUyxPMDyxPRDfPPyxyx或记作存在非正常极限时，上当在则称都有时，使得当，若的一个聚点，为函数，上的二元为定义在设定义dd+¥=+=®),(lim,321),(5)0,