16-2平面简谐波 波动方程.ppt

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1、§16-2平面简谐波波动方程波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。平面简谐波1.平面简谐波的波动表式平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x轴，取O作为x轴的原点。O点处质点的振动表式为平面简谐波的波动表式考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。若振动从O传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点的位移就是O点处质点在t–

2、t时刻的位移，从相位来说，P点将落后于O点，其相位差为t。P点处质点在时刻t的位移为：因波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程。利用关系式和，得其中平面简谐波的波动表式波动表式的意义：上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率w作简谐运动。即x一定。令x=x1，则质点位移y仅是时间t的函数。t一定。令t=t1，则质点位移y仅是x的函数。平面简谐波的波动表式即以y为纵坐标、x为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。平面简谐波的波动表式沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相

3、位差为：x、t都变化。实线：t1时刻波形；虚线：t2时刻波形Dx=ut波的传播平面简谐波的波动表式当t=t1时，当t=t1+Δt时，在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1)和x(2)表示，则平面简谐波的波动表式令x(2)=x(1)+uΔt，得在Δt时间内,整个波形向波的传播方向移动了Δx=x(2)-x(1)=uΔt，波速u是整个波形向前传播的速度。波速u有时也称相速度。平面简谐波的波动表式沿x轴负方向传播的平面简谐波的表达式O点简谐运动方程：yxoP点的运动方程为：平面简谐波的波动表式2.波动方程对求x、t的二阶偏导数,得到任何物理量y，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波

4、的形式传播。平面波的波动微分方程在三维空间中的一切波动过程，只要介质无吸收且各向同性，都适合下式：波动方程代表振动位移。球面波的波动方程：球面波的余弦表式如下：——振幅3.波动方程的推导设固体细长棒的截面为S、密度为体积元ab，其原长为x，体积为V=Sx。a处胁强b处胁强波动方程的推导体积元所受合力：体积元质量为Sx，其振速为v，据牛顿第二定律，得因—协变—杨氏模量利用，牛顿第二定律变为：将求导后代入微分方程后可知，当时等式成立。细长棒中传播的纵波的波速为按照偏微分方程理论，方程的一般解为：波动方程的推导例题16-3频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨

5、氏模量为Y=1.91011N/m2，棒的密度=7.6103kg/m3。如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A=0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3)离原点10cm处质点的振动表式，(4)离原点20cm和30cm两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。解棒中的波速波长波动方程的推导周期(1)原点处质点的振动表式y0=Acost=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103tm(2)波动表式式中x以m计，t以s计。(3)离原点10cm处质点的振动表式波动方程的推导可见此点的振

6、动相位比原点落后，相位差为，或落后，即210-5s。(4)该两点间的距离，相应的相位差为(5)t=0.0021s时的波形为式中x以m计。波动方程的推导例题16-4一横波沿一弦线传播。设已知t=0时的波形曲线如下图中的虚线所示。弦上张力为3.6N，线密度为25g/m，求(1)振幅，(2)波长，(3)波速，(4)波的周期，(5)弦上任一质点的最大速率，(6)图中a、b两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲线。t=0波动方程的推导解由波形曲线图可看出：(3)由波速公式计算出(2)=40cm；(1)A=0.5cm；(4)波的周期波动方程的推导(5)质点的最大速率(6)a、b两点相隔半个波长，b点处

7、质点比a点处质点的相位落后。(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移而到达和处。t=3T/4波动方程的推导(5)质点的最大速率(6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后。(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移而到达和处。t=3T/4波动方程的推导