4-1总体与样本.ppt

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1、第四章数理统计的基础知识4.1总体与样本4.2统计量4.3常用的统计分布4.4抽样分布第一节总体与样本一、总体与个体二、样本三、样本的联合分布数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性影响的数据进行收集、整理、分析和推断的学科。数理统计的应用很广泛,内容很丰富。本课程只介绍参数估计、假设检验、方差分析与回归分析的基本内容。本章介绍总体、随机样本及统计量等基本概念，并介绍几个常用的统计量及其抽样分布。在数理统计中，我们将研究对象的某项数量指标x的值的全体称为总体或母体。而把构成总体的每个元素

2、称为个体。例1研究某厂生产的一批灯泡的质量，这时该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡即为个体。然而，通常总是把使用寿命作为体现灯泡质量特征的指标。于是，便把每个灯泡的使用寿命这个指标值看成个体，而全部灯泡的寿命就组成了总体。一、总体与个体例2炮弹的质量往往由它的重量、穿透率、射程等方面的特征指标来体现。如果只研究这批炮弹的重量指标时，各发炮弹重量的全体就是一个总体，每发炮弹的重量是个体。如果需要考察这批炮弹的穿透率指标时，各发炮弹穿透率的全体就是总体，而每发炮弹的穿透率就是个体。如果同时要考虑炮

3、弹的重量、穿透率及射程指标时，则各发炮弹的重量、穿透率、射程便构成一个三维向量指标，这三维向量指标值的全体就组成一个总体。有限总体和无限总体用X来表示研究对象的特征指标，如果研究的是个体的n项特征指标，则X表示一个n维向量。如上例1中X表示“灯泡的寿命”；例2中X分别表示“炮弹的重量”，“炮弹的穿透率”或三维向量“重量、穿透率、射程”。就某一特征指标X而言,每个个体所取的数值不一定相同,而且在抽到某个个体之前,这个个体的指标值X是不能确定的,因此可以认为X是一个随机变量。例如，考察某工厂10月份生产的

4、灯泡的寿命所成的总体。我们知道灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的百分比，如灯泡寿命落在1000小时~1300小时的占灯泡总数的85%，落在1300小时~1800小时的占灯泡总数的5%等等。即灯泡寿命的取值有一定的分布。它的取值在客观上有一定的分布。我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究。因此，把随机变量X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的分布律为总体分布律；当X为连续型随机变量时，称X的概率密度为总体概率密度。今后将不区分总体和相应的随机变量X,有时也称总体X。X

5、的分布函数及数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。总体分布一般是全部或部分未知，为了研究总体分布的规律,初看起来，最理想的办法是对每个个体逐个进行观察，但这是不可能，也是不现实的。因此，一般总是从总体中抽出有限个个体，通过对这些个体的逐一观测，从而对总体分布规律作出较为合理的判断或推测。这种从总体X中抽出有限个个体的过程称为抽样，被抽出的这些个体称为样品，所有样品便构成了总体的样本。样本中所含个体的数目称为样本容量。二、样本设Xi(i=1，2，…，n)表示抽取的被列为样本的第i个样品，是一个随机变

6、量。由n个样品X1，X2，…，Xn组成一个容量为n的样本，记作(X1，X2，…，Xn)，这是一个n维随机变量。在一次具体的抽样之后，得到一组确定的数值，记为(x1，x2，…，xn)，称之为样本(X1，X2，…，Xn)的一组观察值，也称样本观察值或简称样本值。样本观察值是对总体分布进行分析、推断的基础。随机抽样的目的是为了对总体X的分布进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体特征，为此我们要求随机样本(X1，X2，…，Xn)满足：（1）代表性即样本的每个分量Xi与X有相同的分布F。（2）独立

7、性即X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，也就是说，n次观察值之间是相互独立的。满足上面两条的样本称为简单随机样本。例如：有重复的抽样得到的样本就是简单随机样本；而不重复的抽样得到的样本就不是简单随机样本，但如果抽出的样本数量n相对总体N来说小得多（一般n/N≤0.1）时，也可近似看成简单随机样本。由概率论讨论可知，若总体X具有分布函数F(x)，则样本(X1，X2，…，Xn)的联合分布函数为如果总体为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则样本的联合概率密度为三、样本的联合分布如果总体为离散型

8、随机变量，其分布律为P{X=ai}=pi(i=1，2，…)，则样本的联合分布律为其中为的任一组可能的观察值。例1设（X1,X2,…,Xn）为来自总体X～N(μ,2)的样本，试写出（X1,X2,…,Xn）的联合概率密度，并计算，，其中。解：由于X的概率密度函数因此样本的联合概率密度又因为E(X)=μ，D(X)=σ2，所以例2设总体X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本。求（X1，X2，…，Xn）的联合分布律。解：由于（k=0,1,2…,λ＞