2019秋九年级数学上册思想方法专题矩形中的折叠问题（新版）北师大版.docx

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1、思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　矩形折叠问题中直接求长度或角度1．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′＝_______°.第1题图第2题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F分别是边BC，AD上一点．将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为______cm.类型二　矩形折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求长度3．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若B

2、C＝3，则折痕CE的长为（）A．2B.C.D．6第3题图　第4题图　　4．(2016·东营中考改编)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．已知折痕AE＝5cm，且EC∶FC＝BF∶AB＝3∶4，那么矩形ABCD的周长为__________cm.类型三　矩形折叠问题中结合其他性质解决问题5．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为_________．第5题图第6题图　　6．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△A

3、BE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为______．7．★如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝，求AD和AB的长．思想方法专题：矩形中的折叠问题答案1．65　2.63．A　解析：由题意可得∠OCE＝∠BCE，∠COE＝∠B＝90°.又∵OA＝OC，∴OE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠CAE＝∠OCE.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAE.∴∠BCE＝∠OCE＝∠ACD

4、＝30°，∴BE＝CE.在Rt△BCE中，CE2－BE2＝BC2，即CE2－＝32，∴CE＝2.故选A.4．36　解析：设EC＝3xcm，FC＝4xcm，则DE＝EF＝5xcm，∴AB＝DC＝8xcm.又∵BF∶AB＝3∶4，∴BF＝6xcm，∴AD＝BC＝10xcm.在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，即(10x)2＋(5x)2＝(5)2，解得x＝1(取正值)．∴AB＝8cm，AD＝10cm，∴矩形ABCD的周长为2×(10＋8)＝36(cm)．5．(0，2.1)　解析：∵矩形OABC中，OA＝2，AB＝5，∴BC＝2，OC＝5.∵把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，∴B′C＝

5、BC，∠B′＝∠B＝90°，∴AO＝CB′，∠AOD＝∠B′.又∵∠ADO＝∠CDB′，∴△AOD≌△CB′D，∴AD＝CD.设OD＝x，则AD＝CD＝5－x.在Rt△AOD中，AD2＝OA2＋OD2，∴(5－x)2＝22＋x2，∴x＝2.1.∴D点的坐标为(0，2.1)．6.　解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝5.∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BH，∴BH＝，则BF＝2BH＝.∵E是BC的中点，∴FE＝

6、BE＝EC，∴∠EBF＝∠BFE，∠ECF＝∠EFC.又∵∠EBF＋∠BFE＋∠EFC＋∠ECF＝180°，∴∠BFE＋∠EFC＝90°，即∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝＝＝.7．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC.由折叠的性质可得∠ADE＝∠A′DE＝∠ADC＝45°，AE＝EG，BC＝CH，∴∠AED＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，∴AE＝AD＝BC，∴EG＝CH；(2)解：由折叠的性质可得∠FGE＝∠A＝90°，GF＝AF＝.由(1)可知∠ADE＝45°，∴∠DFG＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，∴DG＝GF

7、＝，∴DF＝＝2，∴AD＝AF＋DF＝＋2.由折叠的性质可知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°.又∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE.由(1)可知AE＝AD＝BC.在△AEF与△BCE中，∴△AEF≌△BCE(AAS)，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝＋2＋＝2＋2.