2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数性质的应用教案新人教A版.docx

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1、第2课时　指数函数性质的应用[目标]1.会利用指数函数的单调性比较两个幂的大小；2.会利用指数函数的单调性解简单的指数不等式；3.会利用指数函数的单调性求指数型函数的值域．[重点]指数函数单调性的应用．[难点]求指数型函数的值域．知识点一　比较幂的大小[填一填]比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较

2、．[答一答]1．af(x)与()g(x)(a>0，且a≠1)如何比较大小？提示：化为同底的幂值，比如可将()g(x)化为a－g(x)．知识点二　指数函数型复合函数[填一填]指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如y＝af(x)和y＝f(ax)(a>0，且a≠1)．通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系．形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法．利用复合函数的单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0

3、1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．[答一答]2．讨论函数y＝－x2＋2x的单调性．提示：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其进行讨论．函数y＝－x2＋2x的定义域为R，令u＝－x2＋2x，则y＝u.列表如下：由表可知，原函数在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.类型一　　利用指数函数的单调性比较大小[例1]　比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－与0.70.3；(3)0.7－1与0.6.[分析]　底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底

4、数不同且指数也不同的，可借助中间值比较．[解]　(1)∵指数函数y＝1.9x在R上是增函数，且－π<－3，∴1.9－π<1.9－3.(2)∵指数函数y＝0.7x在R上是减函数，且2－≈0.268<0.3，∴0.72－>0.70.3.(3)∵指数函数y＝0.7x在R上单调递减，且－1<0，∴0.7－1>0.70＝1.∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且>0，∴0.6<0.60＝1.∴0.7－1>0.6.对于幂的大小比较，一般规律为：(1)同底数幂的大小比较：构造指数函数，利用单调性比较大小.(2)既不同底数，又不同指数的幂的大小比较：利用

5、中间量法，常借助中间量0或1进行比较.[变式训练1]　比较下列各题中两个值的大小：(1)－1.8，－2.5；(2)－0.5，－0.5；(3)0.20.3,0.30.2.解：(1)因为0<<1，所以函数y＝x在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5，所以－1.8<－2.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得－0.5>－0.5.(3)因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数

6、y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2.类型二　　解简单的指数不等式[例2]　(1)解不等式2x－1≤2；(2)若a－3x>ax＋4(a>0且a≠1)．求x的取值范围．[解]　(1)2x－1＝(2－1)2x－1＝21－2x.因此原不等式等价于21－2x≤21，又y＝2x是R上的增函数，所以1－2x≤1.所以x≥0.因此原不等式的解集是{x

7、x≥0}．(2)①当0

8、解得x>－1.②当a>1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x>x＋4，即－4x>4.解得x<－1.综上，当01时，x的取值范围为(－∞，－1)．解与指数有关的不等式时，需注意的问题：(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解；(3)形如ax>bx的形式，利用图象求解.[变式训练2]　根据下列条件，

9、确定实数x的取值范围．(1)0.23x－1>；(2)<1－4x(a>0且a≠1)．解：(1)原不等式可化为51－3x>5－2.∵函数y＝5x在R上是增函数，∴1－3x>－2，即x