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《（新课标）2020版高考数学总复习第四章第八节正弦定理和余弦定理的实际应用练习文新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八节 正弦定理和余弦定理的实际应用A组 基础题组1.已知A、B两地间的距离为10km,B、C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为( )A.10kmB.103kmC.105kmD.107km答案 D 如图所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700,所以AC=107(km).2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于( ) A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.
2、120(3-1)mD.30(3+1)m答案 C 如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD=ADtan∠ACD=60tan30°=603m,在Rt△ABD中,BD=ADtan∠ABD=60tan75°=602+3=60(2-3)m,∴BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)m.3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )A.1
3、02海里B.103海里C.203海里D.202海里答案 A 如图所示,易知在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=102海里.4.地面上有两座相距120m的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为( )A.50m,100mB.40m,90mC.40m,50mD.30m,40m答案 B 设高塔高Hm,矮塔高hm,在O点望高塔塔顶的仰角为β.则tanα=H120,tanα2=h1
4、20,根据三角函数的倍角公式有H120=2×h1201-h1202.①因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔塔顶的仰角为π2-β.由tanβ=H60,tanπ2-β=h60,得H60=60h.②联立①②解得H=90,h=40.即两座塔的高度分别为40m,90m.5.如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( )A.56B.153C.52D.156答案 D 在△BCD中,∠CBD=180°-15
5、°-30°=135°.由正弦定理得BCsin30°=CDsin135°,所以BC=152.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=152×3=156.故选D.6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为 海里/小时. 答案 1762解析 如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.在△PMN中,MNsin120°=PMsin45°,∴MN=68×3222=346海里.又由M到N所用的时间为14-10=4小时,∴此船的航行速度v=3
6、464=1762海里/小时.7.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部所连的线成30°角,则两条船相距 m. 答案 103解析 由题意画示意图,如图,OM=AOtan45°=30(m),ON=AOtan30°=33×30=103(m),在△MON中,由余弦定理得,MN=900+300-2×30×103×32=300=103(m).8.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠
7、DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ= . 答案 3-1解析 由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由三角形内角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,在△ABD中,根据正弦定理可得50sin30°=DBsin15°,即DB=100sin15°=100×sin(45°-30°)=252×(3-1),则在△BCD中,由正弦定理得25sin45°=252×(3-1)sin(90°+θ)
8、,即25sin45°=252×(3-1)cosθ,解
