资源描述：
《（江苏专用）2020版高考数学总复习第十三章第四节空间向量的应用（一）——证明平行与垂直课时作业苏教版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节 空间向量的应用(一)——证明平行与垂直课时作业练1.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)已知向量a为平面ABC的法向量,且
2、a
3、=3,求向量a的坐标;(2)设M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,求x,y,z满足的关系式.解析 (1)设向量a=(x,y,z),由题意知a·AB=0,a·AC=0.又AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),
4、a
5、=3,所以得方程组-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,x2+y2+z2=3.解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1
6、.所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).(2)由题意知AM=(x,y-2,z-3),由(1)知a·AM=0,不妨取向量a=(1,1,1),则x+y-2+z-3=0,即x+y+z-5=0.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,DD1的中点,试求平面ABEF的一个法向量.解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),E0,1,12,F0,0,12,所以AB=(0,1,0),AF=-1,0,12.设平面ABEF的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=(
7、x,y,z)·(0,1,0)=y=0,n·AF=(x,y,z)·-1,0,12=-x+12z=0.令z=2,则x=1,y=0.所以平面ABEF的一个法向量n=(1,0,2).3.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若四边形ABCD是平行四边形.求证:MN∥平面PAD.证明 取DP的中点E,连接AE,EN,则EN=12DC=12AB=AM,又EN∥DC∥AB,所以四边形AMNE为平行四边形.所以MN=AE=12AP+12AD.所以MN,AD,AP共面.又MN不在平面PAD内,所以MN∥平面PAD.4.(2019江苏
8、宿迁高三模拟)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)证明:BC∥EF;(2)求四棱锥F-OBED的体积.解析 (1)证明:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE.由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,又易知QE⊥AD,故以Q为坐标原点,QE、QD、QF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E(3,0,0),F(0,0,3),B32,-32,0,C0,-32,32,所以BC=-32
9、,0,32,EF=(-3,0,3).所以EF=2BC.所以BC∥EF.(2)易得OB=1,OE=2,∠EOB=60°,所以S△EOB=32.因为△OED是边长为2的正三角形,故S△OED=3,所以S四边形OBED=S△OBE+S△OED=332.由(1)得FQ是四棱锥F-OBED的高,且FQ=3,所以V四棱锥F-OBED=13FQ·S四边形OBED=32.5.(2019江苏南京、盐城、连云港高三模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=π3,E,F分别是BC,A1C的中点.(1)
10、求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,且A1MA1D=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值.解析 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.在菱形ABCD中,∠ABC=π3,连接AC,则△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点,所以BC⊥AE.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.以{AE,AD,AA1}为正交基底建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(3,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),
11、E(3,0,0),F32,12,1.(1)AD=(0,2,0),EF=-32,12,1,故cos=AD·EF
12、AD
13、·
14、EF
15、=24.故异面直线EF,AD所成角的余弦值为24.(2)设M(x,y,z),因为点M在线段A1D上,且A1MA1D=λ,所以A1M=λA1D,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2).则M(0,2λ,2-2λ),CM=(-3,2λ-1,2-2λ).设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).因为AE=(3,0,0),AF=32,12,1,由n·AE=0,n·AF=0,得x0=0,12y0+z0=
16、0.取y0=2,则z0=-1,则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).若CM∥平面AEF,则n·CM=0,即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=23.6.(2018江苏无锡普通高中高三调研)在
