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《（江苏专用）2020版高考数学总复习第十三章第五节空间向量的应用（二）——求空间角课件苏教版.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五节空间向量的应用(二)——求空间角利用空间向量求空间角教材研读考点一求异面直线所成角考点二求直线与平面所成的角考点突破考点三求二面角考点四已知空间角,确定点的位置或求参数的值利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角(i)范围:两条异面直线所成的角的取值范围是①.(ii)向量求法:设两条异面直线a、b所成的角为θ,方向向量分别为a、b,教材研读其夹角为φ,则有cosθ=②
2、cosφ
3、.(2)直线与平面所成的角(i)范围:直线和平面所成的角的取值范围是③.(ii)向量求法:设直线l与平面所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,a与u的夹角为φ,则有sinθ=④
4、cosφ
5、
6、或cosθ=⑤sinφ.(3)二面角(i)范围:二面角的取值范围是⑥[0,π].(ii)向量求法:a.若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量、的夹角(如图1所示).b.设n1、n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α、β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图2、3所示).1.(教材习题改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC上的点.(1)若E,F分别是AB,BC的中点,求证:A1F⊥C1E;(2)若AE=BF,试求A1F与C1E所成角的大小.解析以点D为坐标原点,分别以,,
7、为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.(1)证明:因为E,F分别是AB,BC的中点,所以=(-1,2,-2),=(2,-1,-2).所以·=-2-2+4=0,所以⊥,即A1F⊥C1E.(2)设AE=BF=a(0≤a≤2),则=(-a,2,-2),=(2,a-2,-2).因为·=-2a-2a+4+4=0,所以⊥,即A1F与C1E所成角的大小为90°.2.(2018江苏高考信息预测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,且PA⊥底面ABCD.若正方形ABCD的边长为2,且PC=2,点E为线段PC的三等分点,且EC=2PE,求锐二面角B-AE-C的余弦值.
8、解析以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,其中的方向,的方向,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).易得AC=2.又PC=2,则在直角△PAC中,PA=2,所以P(0,0,2).设E(x,y,z),由PC=3PE,得=,即x=,y=,z=,则E,=.=(2,0,0).易知平面EAC的法向量n1=(-1,1,0),设平面AEB的法向量为n2=(x1,y1,z1).由得令y1=-2,则x1=0,z1=1,即n2=(0,-2,1).n·n2=-2.则cos==
9、.所以锐二面角B-AE-C的余弦值为.考点一求异面直线所成角典例1(2019苏北四市高三模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是AA1,AC,A1C1的中点.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.考点突破解析(1)易得F(0,0,0),A,C,B,E,C1,所以=(-1,0,0),=.设异面直线AC与BE所成的角为α,则cosα=
10、cos<,>
11、==.所以异面直线AC与BE所成角的余弦值为.(2)设平面BFC1的法向量为m=(x1,y1,z1),因
12、为=,=,所以取x1=4,得m=(4,0,1).设平面BCC1的法向量为n=(x2,y2,z2),因为=,=(0,0,2),所以取x2=,得n=(,-1,0).所以cos==.由题图可知二面角F-BC1-C为锐二面角,所以二面角F-BC1-C的余弦值为.规律总结1.选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;2.确定各异面直线上两个点的坐标,从而确定两异面直线的方向向量;3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;4.两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值,结合异面直线所成角的范围即可求出其大小.1-1(2017江苏海安高级中学高三阶段检测)在正方体ABCD-A1B1
13、C1D1中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且=λ.(1)若λ=1,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;(2)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值.解析(1)设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,且的方向、的方向、的方向分别为x轴、z轴的正方向,则D(0,0,0),A(1,0,0),O,C(0,1,0),D1(0,0,1).当
