高考大一轮总复习87利用空间向量求空间角.docx

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1、§8.7利用空间向量求空间角考纲展示》1•能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2•了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.考点1异面直线所成的角第AL步回顾基础熟悉教材固根基门读II填两条异面直线所成角的求法设两条异面直线Q，b的方向向量为a,b,其夹角为0,则cos(p—cosq=

2、d

3、0l(其中。为异面直线Q，〃所成的角).易I错问题空间角的范围处理错误.已知向量加，〃分别是直线/和平面a的方向向量、法向量，若cos(m,n}贝収与a所成的角为・答案：30。解析：设/与a所成的角为"，则sin&=

4、cos〈m,n)

5、=*,/.6^=30°.第囚

6、步自主练透［典题1］(1)直三棱柱ABC~AXBXCX中，=90°,M,N分别是儿Bi，的中点，BC=C4=CC,则〃M与/N所成角的余弦值为)AWB-5邂D•平［答案］c［解析］建立如图所示的空间直角坐标系c—xyz,设BC=2,则8(0,2,0),力(2,0,0),M(1丄2),N(l,0,2),所以W=(l,-1,2),力"=(一1,0,2),故BM与AN所应角&的余弦值八BM-ANcos8=―>—>BM\AN3V30y[6Xy[5~10•(2)如图，在正方形MCQ中，EF//AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE：ED：AD=：1：^2，则/F与CE所

7、成角的余弦值为EF［答案］［解析］9：AE:ED:AD=：1：迈,:.AE丄ED,•:建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=EF=CD=2,则£(0,0,0),昇(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,l),・•・〃=(—1,2,0),—>£C=(0,2,1),—>—>/.cos〈人F,EC〉—>—>AFEC_4_4t>[5Xy[55,AF\EC4:.AF与CE所成角的余弦值为§・［点石成金］1•利用向量法求异面直线所成角的步骤第］步1建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角;第2步第3步:、坐标系:定向量：确定异面直线上两个点的坐标，从而:［确定异面直线的方向向

8、量1计算：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余］:弦值i、j下结论：两异面直线所成角的余弦值等于两方］;向向量夹角余弦值的绝对值i2.注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.考点2直线与平面所成角第凰步回顾基础熟悉教材固根基直线和平面所成角的求法如图所示，设直线/的方向向量为仑，平面a的法向量为弘直线/与平面a所成的角为(p,向量e与/1的夹角为0,则有sin0=

9、cos3—

10、心

11、\e［连接教附(1)［教材习题改编］若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120°,则直线/与平面a所成的角等于・答案:30°解析：根据线面角的定义易知为30°.(2)［

12、教材习题改编］如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b=(y［i,^5,^5),那么这条斜线与平面的夹角是.答案:30°d'h、行解析：cos〈a,b)=j^i

13、^

14、=2，因此a与方的夹角为30°,即斜线与平面的夹角也为30。・⑶［教材习题改编］如图所示，在正方体ABCD-AXBXCXDX中，M,N分别为棱力/

15、和B8]的中点，贝Ijsin〈CM,DXN>的值为姣案.-口■9—>—>—>解析：设正方体的棱长为2,以D为坐标原点，DA,DC,DO】所—>在方向分别为x轴、尹轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系，可知CMTTT]=(2,一2,1),

16、DN=Q2,-1),所以cos

17、0丄EC.天BC丄/C,所以BC丄平面AAyCyC,所以/C

18、丄〃C.在菱形AAXCXC中，/Ci丄/C,所以/C］丄平面ABC,所以//丄AC}.(2)［解］以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一则力(0,—1,0),5(2,1,0),C(O，1，O),G(o,2,羽),—>—>—>M=(2,2,0),〃5=CCi=(0,l,羽).设加=(兀，y,z)是平面ABB[Ai的法向量,—>mAB=09则S—>jn・BB=0,(2x+2j/=0,卩b+V^z=o,取Z=