高一数学函数的定义域与值域的常用方法.doc

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1、高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例1.已知，试求。解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。故得：。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例2.（1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。（2）由条件式，以－x代x则得：，与条件式联

2、立，消去，则得：。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例4.求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；（2）已知，求，，；（3）已知，求；（4）已知，求。【题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。（3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个方程就行了。【解题过程】⑴设，由得，由，得恒等式，

3、得。故所求函数的解析式为。（2），12又。（3）设，则所以。（4）因为①用代替得②解①②式得。【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；（2）已知求的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现，，则一般将式中的用代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域二：求函数定义域1、由函数解

4、析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3.求的定义域。解：由题意知：，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：{x

5、x>－2且x≠±4}。例2.求下列函数的定义域：（1）；（2）【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】（1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即。故函数的定义域为.当然也可表

6、示为。（2）要使函数有意义，则，从而函数的定义域为。【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的12的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例4.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435－617解：{1，2，3，4，5，6}。3、求与

7、复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。解：又由于x2－4x＋3>0**联立*、**两式可解得：例9.若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得，故定义域为。三：求函数的值域与

8、最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例11.求函数的值域。解：，因为，故y≠2，所以值域为{y

9、y≠2}。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函数y＝2x2＋4x的值域。解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y

10、y≥－2}。说明：这是一个二次函数，可通过配方的

11、方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、判别式法例13.求函数的值域。解：可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥120可解得：。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数