高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案解析)

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1、高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一.求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二.求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个

2、方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3

3、、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各

4、个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例1.已知，试求。解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。故得：。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例2.（1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。20（2）由条件式，以－x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。说明：本题虽然没

5、有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例4.求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；（2）已知，求，，；（3）已知，求；（4）已知，求。【思路分析】【题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。（3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个方程就行了。【解题过程】⑴设，由得，由，得恒等式，得。故所求函数的解析式为。（2），又。（3）设，则所以。

6、（4）因为①用代替得②解①②式得。【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；（2）已知求的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现，，则一般将式中的用代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。20二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所

7、在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3.求的定义域。解：由题意知：，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：{x

8、x>－2且x≠±4}。例2.求下列函数的定义域：（1）；（2）【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】（1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即。故函数的定义域为.当然也可表示为。（2）要使函数有意义，则，从而函数的定义域为。【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，

9、如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区