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1、第七节空间向量及其运算(*)1.空间向量的概念空间向量:在空间,我们把既有又有的量叫做空间向量.2.共线向量(平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定零向量与共线.3.共线向量定理对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使.基础梳理大小方向互相平行或重合任意向量b=λaxa+yb4.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=.5.空间向量基本定理及其推论(1)空间向量基本定理如果三个向量,,不共面,那么对空间
2、任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=.(2)空间向量基本定理的推论设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=.(x,y,z)(x,y,z)6.空间向量的坐标表示及坐标运算(1)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系O-xyz中,i,j,k分别为x轴,y轴,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a,若有a=xi+yj+zk,则有序实数组叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标.特别地,若A(x,y,z),则向量的坐标为(x,y,z),记作=.(2)坐标运算设,,则a+b=;a-b=;λa=
3、.
4、a
5、
6、b
7、cos〈a,b〉a·a7.空间向量的数量积(1)数量积的定义设a,b是空间两个非零向量,我们把数量
8、a
9、
10、b
11、cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=.规定:零向量与任一向量的数量积为0.(2)用数量积表示夹角、长度与垂直①cos〈a,b〉=;②
12、a
13、2==;③a⊥b(a,b是非零向量).a·b=0a=λb8.空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标表示设,,则a·b=.(2)共线与垂直的坐标表示设,,则①a∥b,,,(λ∈R);②a⊥b(a,b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设,,则①=;②cos〈
14、a,b〉==;③若,,则=.典例分析题型一向量的线性运算【例1】如图所示,在平行六面体中,设,,,M,N,P分别是,BC,的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3).分析从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的加、减及数乘运算的法则和运算律，不断地进行分解，直到全部用已知条件表示出来为止.解(1)∵P是的中点,∴(2)∵N是BC的中点,∴(3)∵M是的中点,∴又∴学后反思选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和
15、公式等就近表示所需向量，再对照目标，就不符合目标的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有的向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解.有分解才有组合，组合是分解的表现形式.空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组(a,b,c),可以表示出空间的任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.举一反三1.在空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,N为BC的中点,则MN等于.解析：∵,,,∴,①.②①+②,得∴答案：题型二共线、共面问题【例2】如图所示,已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外一点,连接PA、PB、PC、PD.设点
16、E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.分析可以利用共面向量定理或其推论完成第(1)问的证明;从几何直观判断,第(2)问中的两个平面应该是平行关系.解(1)如图,连接PE,PF,PG,PH,并分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形,且有:,,,.因为四边形MNQR是一个平
17、行四边形,所以又所以,即由共面向量定理知,E、F、G、H四点共面.学后反思（1）空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面.（2）用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.（3）要学会用向量的知识来解决立体几何问题.(2)由(1)得,所以∥.又因为EG平面ABC,MQ平面ABC,所以EG∥平面ABC.因为,所以MN∥EF.又因为EF平面ABC,MN平面ABC,所以EF∥平面ABC.由于EG与EF交于E点,所以平面EFGH与平面ABCD平行.答案：A、B、D举一反三2.已知向量a,b,且,,,则A、B、C、D中一定共线的
18、三点是.解析：∵∴A、B、D三点共线.易证A、C、D不共线.题型三空间向量的数量积【例3】如图
