反证法与放缩法.ppt

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1、反证法先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此.用反证法证明不等式应注意的问题:(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证

2、，就不是反证法.(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，总之推导出的矛盾必须是明显的.例2、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证：设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,则b+c>a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0与题设矛盾若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0同理可证：b>0,c>0例3、设0

3、a>又∵01/4,(1b)c>1/4,(1c)a>1/4,【例】△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.【分析】本题中的条件是三边间的关系，而要证明的是∠B与90°的大小关系.结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明.【解答】∵a、b、c的倒数成等差数列，假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b＞a＞0,b＞c＞0.这与相矛盾.∴假设不成立,故∠B＜90°成立.【拓展】若a3+b3=

4、2,求证：a+b≤2.【分析】本题结论的反面比原结论更具体，更简洁，宜用反证法.【证明】假设a+b＞2，则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)＞8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)＞6.故ab(a+b)＞2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,∴ab(a+b)＞(a+b)(a2-ab+b2)，∴a2-ab+b2＜ab,即(a-b)2＜0.这不可能，故a+b≤2.用反证法证“至多”、“至少”型问题的方法与步骤.(1)反证法的一般步骤：①否定结论：假设要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立.②推理论证：由“否定结论”出发，通过正确的推理，导出矛盾.③肯定结论：因为推

5、理正确，产生矛盾的原因在于“否定”结论的错误，即结论的反面不成立，从而结论成立.用反证法证“至多”、“至少”型问题(2)在证明中含有“至多”、“至少”、“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.练习：否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()(A)a、b、c都是奇数(B)a、b、c都是偶数(C)a、b、c中至少有两个偶数(D)a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】选D.三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、

6、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合.练习：设a,b是两个实数，给出下列条件：(1)a+b＞1;(2)a+b=2；(3)a+b＞2；(4)a2+b2＞2;(5)ab＞1，其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()(A)(2)(3)(B)(1)(2)(C)(3)(D)(4)(5)【解析】选C.(1)可取a=0.5,b=0.6,故不正确;(2)若a+b=2，则可取a=1,b=1;(3)若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1，正确；(4)若a2+b2>2,可取a=-2,b=-1；(5)若ab>1,则可取a

7、=-2,b=-1,故选C.例：实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.【证明】假设a、b、c、d都是非负数.即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd.这与已知中ac+bd＞1矛盾，∴原假设错误，故a、b、c、d中至少有一个是负数.【例】(2011·南通模拟)若a、b、c均为实数,且求证：a、b、c中至少有一个大于0