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1、三、反证法与放缩法新会禾雀花1.例1.已知：x,y>0,且x+y>2。试证明：中至少有一个小于2。分析：于是考虑采用反证法。1.从下面证明这个结论，要分三种情况；2.结论的反面只有一种情况。证明假设都不小于2，即因为x>0,y>0,所以1+x≥2y,1+y≥2x把这两个不等式相加，得2+x+y≥2x+2y,2≥x+y,即x+y≤2这与已知x+y>2相矛盾。因此，都不小于2是不可能的，即原命题成立。1.例1.已知：x,y>0,且x+y>2。试证明：中至少有一个小于2。2.例2.已知a,b,c为实数，a+
2、b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0。要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法。假设a,b,c不全是正数，这时需要逐个讨论a,b,c不是正数的情形。由于已知条件有一个特点：任意交换a,b,c的位置不改变命题的条件。所以我们只要讨论其中一个数，其他两个数与这种情形类似。分析：证明：假设a,b,c不全是正数，即其中至少有一个不是正数，不妨设a≤0。分两种情况讨论。①如果a=0，则abc=0.这与已知abc>0矛盾，所以a=
3、0是不可能的。②如果a<0，那么由abc>0得bc<0因为a+b+c>0，所以b+c>-a,b+c>0,a(b+c)<0a(b+c)+bc<0这与已知ab+bc+ca>0相矛盾。所以，a<0也不可能。综上所述，a>0同理可证，b>0,c>0.所以原命题成立。例2.已知a,b,c为实数，a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0。所以ab+bc+ca<0已知a,b,d∈R+，求证若把中间代数式通分相加，则运算非常复杂，难度太大。分析：3.例3.分析此式的形式特点，可以
4、通过适当放缩，使不等式简化，从而得证。缩小法放大法证明：因为a,b,c,d∈R+，所以已知a,b,c,d∈R+，求证3.例3.所以把以上四个不等式相加，得已知a,b是实数，把不等式右边缩小得，4.例4.求证分析：把不等式左边放大得，∵0≤
5、a+b
6、≤
7、a
8、+
9、b
10、∴只要把分式化成仅有一个绝对值表达式，就容易放缩了。因为0≤
11、a+b
12、≤
13、a
14、+
15、b
16、，所以证明：只要把分式化成仅有一个绝对值表达式，就容易放缩了。已知a,b是实数，求证4.例4.
