中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第三章 条件平差.ppt

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1、第三章条件平差§3-1条件平差原理条件平差的数学模型为(3-1-1)(3-1-2)条件方程个数等于多余观测数r，n为观测值总个数，t为必要观测数，存在关系：r=n–t(3-1-3)由于r

2、相应的权阵为，改正数为，平差值为，表示为其中:为对角阵；即（3-1-6）在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测数为r。可以列出r个平差值线性条件方程(3-1-7)式中，（i=1,2,……n）为各平差值条件方程式中的系数，为各平差值条件方程式中的常数项。将（3-1-6）式代入(3-1-7)式，得相应的改正数条件方程式（3-1-8）式中称为改正数条件方程的闭合差（或不符值），即(3-1-9)若取(3-1-7)、（3-1-8）和（3-1-9）式可分别表达成矩阵形式如下(3-1-10)(3-1-11)(3-1-12)按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数（又称为联系数向量）,构成函数：

3、(3-1-13)为引入最小二乘法,将Φ对V求一阶导数,并令其为零得上式两端转置，得由于P是主对角线阵，则，得将上式两边左乘权逆阵，得(3-1-14)此式称为改正数方程，其纯量形式为(3-1-15)将（3-1-14）式代入（3-1-11）式，得此式称为联系数法方程（简称法方程），其纯量形式为(3-1-16)(3-1-17)取法方程的系数阵，由上式易知N阵关于主对角线对称，得法方程表达式(3-1-18)上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵，得联系数K的唯一解：(3-1-19)即，N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。将（3-1-18）式移项，得法方程数阵N的秩将（3-1-19）式代入（3-1-14）

4、或（3-1-15）式，可计算出V，再将V代入（3-1-6）,即可计算出所求的观测值的最或然值。通过观测值的平差值，可以进一步计算一些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。由上述推导可看出，K、V及都是由（3-1-11）和（3-1-14）式解算出的，因此我们把（3-1-11）和(3-1-14)式合称为条件平差的基础方程。二、精度评定在第一个问题中已经阐述了计算未知量最或然值的原理和公式，下面来论述测量平差的第二个任务,即评定测量成果的精度。精度评定包括单位权方差和单位权中误差的计算、平差值函数()的协因数及其中误差的计算等。在第二章中已经介绍过，当

5、已知单位权方差时，如果知道某量的权为p，则该量的方差为在实际工作中，由于观测值的个数n是有限值，因此，只能求出的估值和的估值。则有根据协因数的定义，有了单位权方差和某平差值函数的验后协因数阵，也可按下式计算该平差值向量的协方差阵。(3-1-22)估值形式为(3-1-20)(3-1-21)例如，已知观测值的平差值的协因数阵，则的协方差阵为下面，我们分别讨论单位权中误差和平差值函数协因数阵的计算方法。1.计算单位权方差和中误差的估值根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为在一般情况下，观测值的真误差△是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值

6、的改正数V来计算单位权方差和中误差：(3-1-23)（2）由（3-1-14）和（3-1-11）式导出式中r为多余观测值个数，r=n–t。在（3-1-24）中，须先算出VTPV的值，才能计算单位权中误差。VTPV可用下列几种方法计算：（1）直接利用定义式（3-1-23）计算。纯量形式为(3-1-25)(3-1-24)即(3-1-26)其纯量形式为(3-1-27)2、协因数阵条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表达成随机向量L的函数将向量L、K、V、组成列向量，并以Z表示之(3-1-28)式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得Z的协因数阵为整理后得(3-1-29

7、)由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互独立的向量。3．平差值函数的协因数在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这