2012届总复习-走向清华北大--36直接证明与间接证明.ppt

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1、第三十六讲直接证明与间接证明回归课本证明1.证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法､分析法等;间接证明主要是反证法.2.综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义､定理､公理,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.3.分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件､定义､定理､公理等)为止.这种证明方法叫做分析法.4.反证法:一般地,由证明pq转向证明qr…t,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判

2、定q为假,推出q为真的方法,叫反证法.考点陪练1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件解析:根据分析法的要求,只要能找到一个条件使结论成立即可,并不需要是等价条件(充要条件),只需要是充分条件即可.答案:A2.用P表示已知,Q表示要证的结论,则综合法的推理形式为()A.PQ1→Q1Q2→Q2Q3→…→QnQB.PQ1→Q1Q2→Q2Q3→…→QnQC.QQ1→Q1Q2→Q2Q3→…→QnPD.QQ1→Q1Q2→Q2Q3→…→QnP答案:A

3、3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析:此题实际是一个命题的否定问题,“至多有一个”､“至少有两个”是对应的,此题极易错选为C或A.答案:B4.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是()①与已知矛盾;②假设矛盾;③与定义､公理､定理､法则矛盾;④与事实矛盾.A.①②B.①③C.①③④D.①②③④答案:D5.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a､b､c应满足什么条

4、件()A.a2b2+c2D.a2≤b2+c2答案:C类型一综合法解题准备:1.用P表示已知条件、已有的定义、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可用框图表示为:2.综合法是“由因到果”,即由已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论.综合法又叫做顺推证法或由因到果法.3.综合法格式:从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“∵……,∴……”或“”.[反思感悟]用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论

5、,综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式等.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型.类型二分析法解题准备:1.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为2.分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法.3.分析法格式:与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以

6、逆推的,它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“”.4.综合法和分析法均属于直接证明的方法,经常要把两种方法结合起来用,也就是说“两头凑”,会使问题容易解决.[反思感悟]在解决问题时,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q,根据结论的特点转化得到中间结论P,归结为证明P､Q之间的关系,通常用分析法寻找思路,综合法完成证明.类型三反证法解题准备:1.反证法是间接证明的一种方法,在数学研究和考试中有着重要的作用.一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题的成立,这样的证明方法叫做

7、反证法.2.反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律:一个事物是A或,二者必居其一,反证法即证明结论的反面错误,从而结论正确.3.用反证法证明问题的步骤:(1)分清命题的条件和结论,假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.4.适宜用反证法证明的数学命题:(1)结论本身是以否定形式出现的命题;(2)关于唯一性、存在性命题;(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题;(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.【典例3】已知a,b,

8、c是互不相等的实数.求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.[证明]假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任