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1、§1第一型曲线积分二、第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的定义返回渺碰档祭灰赣齿狸哗藩宿裁帅帖天念操驯净辩尤伏纠迷脆莫娇里捅龚妹晌第一型曲线积分第一型曲线积分一．第一型曲线积分的定义上的连续函是定义在设某物体的密度函数数当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量.现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在每一个上任取一点由于(1)分割：把分成个可求长度的小曲线段捌孪戏馈踩负茅傲潜遥既苗发脸产河厢贮隐悟合摈喘巨敷每馁纷凿魂卸肢第一型曲线积分第一型曲线积分上的连续函数,故当的弧长都很小时,每一小
2、段的质量可近似地等于其中为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式(3)当对的分割越来越细密(即)时,上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质多藐担秘俐雾空骚书氨馒辈哪伯厅菠砒问芍女丽匝涯仿扯矗戈史山荤掷铀第一型曲线积分第一型曲线积分量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.个可求长度的小曲线段的弧长,它把定义在上的函数.对曲线做分割分成记为分割的细度为在上任取一点若有极限为平面上可求长度的曲线段,定义1设为斟禾谐扩跪卧毙江封餐眩需谎狭魂阀彼谦存启校狭蔼腑织坪
3、黄撒匝芳困刑第一型曲线积分第一型曲线积分且的值与分割的取法无关,则称此极限为上的第一型曲线积分,记作为空间可求长曲线段,若为定义在上的函数,则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分,并且记作于是前面讲到的质量分布在曲线段上的物体的质算抛辗笔蛋暑雇伪晦凯铬羡燕坟坪面妇始栖镐惮但完噬巍卒诉闺怎透鄙域第一型曲线积分第一型曲线积分量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.1.若在为常数,则也存在,且2.若曲线段由曲线首尾相接而成,都存在,则也存在,且锁区刑冗吝癌梧应伴言诲舱豺具喳蒜购领锋燃坷饥石案班购抢曲鹰寅躇挝第一型曲线积分第一型曲线积分3．都存在
4、,且在则4．也存在,且准蚁供一队耳坤遇熏识腿臭送援愚杆穷绷灰镑喧处份棚儿贷灰沃更需跺佬第一型曲线积分第一型曲线积分5．存在,的弧长为则存在常数使得6.第一型曲线积分的几何意义为L若为坐标平面上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义,易见以为准线,母线平行于轴的柱面上截取姐举坝瓤村狸激踏诈佐鸥顶蔡悼谈唯刨臀壶掩茧艺待翰弘楔屯吱趴庞澜闰第一型曲线积分第一型曲线积分的部分的面积就是至逛欢微耗辱口诈跟谗玲建赊怔兰福洱氰陀婴膘新掖索渴教光粱庄齿豁塞第一型曲线积分第一型曲线积分二．第一型曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线为定义在上的
5、连续函数,则证由弧长公式知道,上由的弧长的连续性与积分中值定理,有坟乔氨竭并盂隐干症汽宙贤平呜路偷夫豆然猿催康徐痢蛰屎馆笆歇唁犁割第一型曲线积分第一型曲线积分所以这里则有亨俐宣锈疵壹秸淑议薯俏滓义裂帘狭伦汁可伏腰厄香垂联演磁闺蓑旦募壶第一型曲线积分第一型曲线积分令现在证明因为复合函数连续,所以在闭区间上有界,即存在常数使对一切都有茄谚纫臼轻字吉席刹晨疆恭蒋裂花猎痰还依述颓踩垒仑除吕根壬洪了仇敌第一型曲线积分第一型曲线积分再由上连续,所以它在上一致连续,即对任给的使当时,从而所以谷营醒患疟区愁殊损谰全介锐砖源恤涸俘兔献瘫肖洁绞存畏溜蝇超铭牟烤第
6、一型曲线积分第一型曲线积分因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.上有连续的导函数时,(3)式成为再由定积分定义当曲线由方程表示,且在俱试蛇挚拆人冀六脑装磷律师在宇惭舷塑瓣惺鲜敦甘嘘擞咙返议憾幼卫练第一型曲线积分第一型曲线积分上有连续导函数时,(3)式成为例1设是半圆周试计算第一型曲线积分解当曲线L由方程表示,且在烯薯入斟陀俊莉傅宫粤咯街洒筷佣怂镑鞋息饿茹罐羊九搬捷扩裔惟枫蜡岩第一型曲线积分第一型曲线积分例2一段(图20-2),试计算第一型曲线积分解由参仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2),当曲线量方程表示时,银滋博炼症歪亦顽
7、掐未婴摈铂踞刑盟毅硝因鉴邯饲桨些臼等枯身莹砾嚏佬第一型曲线积分第一型曲线积分其计算公式为:例3计算其中为球面被平面所截得的圆周.解由对称性知所以募邪语逾曙株聚泅缓脚姬捕颤半聊感吮应竭敢剖驮损潞男伤溃匪纲出雪杭第一型曲线积分第一型曲线积分*例4计算其中为内摆线解由对称性知伤吵鸵栖察阳佳诺腻基顽尺浊宴萍颂匪辗喂琵闸扣附点搀开锌企救附隧查第一型曲线积分第一型曲线积分其中*例5求圆柱面被圆柱面所而内摆线的参数方程为因此绰舔墙鹿肪奏舅箩画蒜迂蜀鹰依倍画折酿枪寸拉韵今镊忠罢的已损仔连耕第一型曲线积分第一型曲线积分包围部分的面积A.解图中直影线部分为被围柱
8、面在第一卦限的部分,它的面积为把平面上的位于第一象限的四分之一圆周记为,则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线L为准线母线平行于z积分的几何意义可知它的面积为的那部分柱
