5[1].3__偏导数与全微分.ppt

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1、5.3偏导数与全微分5.3.1偏导数在前面一元函数部分,由函数关于自变量的变化率问题引进了导数的概念.现在我们考虑二元函数的变化率.假定两个自变量中只有一个改变,而另一个保持不变而得到的“导数”称为偏导数。定义6.3.1设函数z=f(x,y)在点的某个邻域内有定义.如果固定后,一元函数在点处可导,即极限存在,则称此极限值为函数z=f(x,y)在点处关于自变量x的偏导数,类似地，可以定义关于自变量y的偏导数。如果函数在区域D内每一点的偏导数都存在，则称函数在区域D内偏导数存在。例5.3.1求函数在点(1,2)处的偏导数。解求时,把y看作常数,对x求导得求时,把x看作常数,对y求导

2、得将x=1,y=2分别待入上面两式，得解设中间变量u=xy,则z=f(xy)可看成一元函数z=f(u)与二元函数u=xy的复合函数。于是，由一元函数的琏式求导法则，可得解把y和z都看作常量，对x求导得例5.3.5求函数的偏导数和.5.3.2偏导数的意义1.偏导数的几何意义2.偏导数的经济意义5.3.3高阶偏导数一般地,二元函数z=f(x,y)的偏导数仍为自变量x,y的二元函数.因此有一个继续求偏导数的问题.如果这两个偏导数关于x,y的偏导数还存在,则称它们为二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对两个自变量的求导次序不同,二元函数有下列四个二阶偏导数它们分别为:其中，称为函

3、数z=f(x,y)对x和对y的二阶偏导数，称为函数z=f(x,y)对x和对y的二阶混合偏导数。类似地，还可得到更高阶的偏导数，如二元函数z=f(x,y)的4个二阶偏导数仍为x,y的函数，又有可能再对x,y求偏导数，得到z=f(x,y)的8个三阶偏导数。一般地，对函数z=f(x,y)的n阶偏导数再求一次偏导数，便得到z=f(x,y)的n+1阶偏导数。例如,n阶偏导数解先求一阶偏导数再求二阶偏导数可以看出，上例中两个混合偏导数是相等的，但并不是对所有函数都成立。我们有如下结论：若函数z=f(x,y)的两个混合偏导数在区域D内连续，则必有5.3.4全微分定义5.3.2设二元函数z=f

4、(x,y)在点的某邻域内有定义，对于自变量x,y在点处的改变量,如果函数z=f(x,y)相应的改变量可以表示为则称的线性主部为函数z=f(x,y)在点处的全微分，记为dz，即并称函数在此处可微分。若函数在区域D的每一点处都可微，则称函数在区域D内可微。二元函数的偏导数、全微分和连续性之间关系的有如下定理：定理5.3.1若函数z=f(x,y)在点处可微，则函数在点处的偏导数存在，且有定理5.3.3若函数z=f(x,y)在点的某邻域内偏导数存在且连续，则函数在点处可微。偏导数存在且连续可微偏导数存在连续定理5.3.2若函数z=f(x,y)在点处可微，则函数在点处连续。对n元函数类似

5、地定义全微分，并有类似的计算公式当自变量改变量的绝对值充分小时，可以利用全微分进行近似计算，近似公式为例5.3.12(工厂的扩大再生产问题)已知某厂的产量Q为其投入的资金K和劳力L的函数：Q＝f(K,L),但函数f(K,L)的具体形式不知道，只知道：现在工厂准备扩大投入，使K=24,L=69.试计算扩大投入后，该厂产量及产量改变量的近似值。