数学归纳法(西安交大附中).ppt

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1、数学归纳法(一)西安交大附中金磊黑帽白帽：一群人参加舞会。主持人给每人发一顶帽子，有黑色的也有白色的。每个人都只能看到别人帽子的颜色，看不见自己的。主持人宣布：如果谁确认自己的帽子是黑色的，那么关灯以后就要离开。第一次关灯，没人离开。第二次还是没有。第三次关灯后，陆续听到有人离开的声音。问开始有多少顶黑帽子？一、提出问题、导入新课：温馨提示：有序思考多米诺骨牌课件演示如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下-----飞跃：递推关系；即第k块倒下

2、，则相邻的第k+1块也倒下----------奠基；请大家阅读课本，并思考以下问题：1、数学归纳法的基本步骤是什么？2、数学归纳法为什么能保证对所有的正整数都成立？似乎与多米诺骨牌类似？答案是······阅读理解二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k1)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=1时命题成立若当n=k(k1)时命题成立,证明

3、当n=k+1时命题也成立命题对所有正整数n都成立。【归纳奠基】【归纳递推】意大利科学家莫罗利科所以n=k+1时结论也成立那么求证(一定要用上假设)三、学以致用、行胜于言例2、在数列{}中,＝0,(n∈),先计算，，的值，再推测通项的公式,最后证明你的结论．例3、已知x>1，n为正整数．求证：(1+x)n1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即(1+x)k1+kx当n=k+1时，因为x>1，所以1+x>0，于是左边(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1

4、)x．因为kx2＞0，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)(2)，原不等式对任何正整数n都成立.证明：（1）当n=1时，左＝1＋x=右边，∴n=1时成立k+112k我是谁？数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）证明当n取第一个值1时结论正确；验证初始条件--------游戏开始（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确；假设推理----------游戏规则（3）由（1）、（2）得出结论.点题找准起点

5、奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整特别提醒：四、练习巩固、温故知新证明：1、当n=1时,左=12=1，右=∴n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1时，原不等式成立由1、2知当nN*时，原不等式都成立练习2:用数学归纳法证明：五、总结提升、化为理论:1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,要掌握数学归纳法的实质与步骤.2.数学归纳法是一种方法，更是一种思想，是一种量变质变逐步递进的朴素而深刻的辨证思想.3.归纳法与数学归纳法

6、是两个貌合神离的概念：归纳法是根据事物的部分特征得出整体特征的推理方法，结论未必正确；而数学归纳法的结论是绝对正确的。课堂作业:课本19页习题1-4：1、2、3课后作业研究性课题：简析我国古代烽火传递军情的合理性智力挑战营：海盗分金问题5个海盗分配100枚金币，首先按实力排座次：老大到老五；然后由老大提出分配方案，全部5人进行表决，当超过半数的人同意时，按他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼；由老二继续，以此类推。假定“每个海盗都是绝顶聪明且很理智很贪婪”。结果金币会如何分配？