2020版高考数学大二轮复习4.1等差数列与等比数列学案文.docx

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1、第1讲　等差数列与等比数列考点1　等差数列、等比数列的基本运算1．通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1.2．求和公式等差数列：Sn＝＝na1＋d；等比数列：Sn＝＝(q≠1)．[例1]　(1)[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n(2)[2019·全国卷Ⅲ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.【解析】　(1)本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算

2、求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．方法一　设等差数列{an}的公差为d，∵∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.方法二　设等差数列{an}的公差为d，∵∴解得选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.(2)设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得所以S10＝10×1＋×2＝100.【答案】　(1)A　(2)100等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)．(2)列、解方程组：

3、把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.『对接训练』1．[2019·河北衡水中学摸底]已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S10＝100，则a7的值为(　　)A．11B．12C．13D．14解析：∵{an}的公差为2，S10＝100，∴10a1＋90＝100，∴a1＝1，a7＝13，故选C.答案：C2．[2019·湖南重点高中联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，公差d≠0，a1，a2，a5成等比数列，则S5＝(　　)A．15B．20C．21D．25解析：由已知得a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，又d≠

4、0得d＝2，∴S5＝5＋×2＝25，故选D.答案：D考点2　等差、等比数列的判定与证明1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明(n∈N*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2)．[例2]　[2019·广东广州调研测试]设Sn是数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)求数列{an}的通项公式，并判

5、断n，an，Sn是否成等差数列？【解析】　(1)证明：因为a3＝7，a3＝3a2－2，所以a2＝3，则an＝2an－1＋1，取n＝2，得a2＝2a1＋1，解得a1＝1.由an＝2an－1＋1(n≥2)，得an＋1＝2(an－1＋1)，即＝2，所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1，所以Sn＝－n＝2n＋1－n－2.于是n＋Sn－2an＝n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0，所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列.(1)判断一个数列是等差(等比)数列，有通项公式法及前n项和公式法，但不

6、作为证明方法．(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可．(3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.『对接训练』3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值．(2)设bn＝an＋3，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式an.解析：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．所以n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3，n＝2时，由S2＝2a2－3×2，

7、得a2＝9，n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21.(2)证明：因为Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得an＋1＝2an＋3，　①把bn＝an＋3及bn＋1＝an＋1＋3，代入①式，得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6，所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝6×2n－1，所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)．考点3　等差、等比数列的性质等差数列等